5. Течение вязкой жидкости по трубам. Формула Пуазейля. Гидравлическое сопротивление.

Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медиков особый интерес, т.к. кровеносная система состоит в основном из цилиндрических сосудов разного диаметра. Вследствие симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от её оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы, а самый близкий к трубе слой жидкости неподвижен. Примерное распределение скорости частиц жидкости в сечении трубы показано на рис. 4.

Выделим мысленно цилиндрический объем жидкости некоторого радиуса r и длины l (см. рис.5а) и определим зависимость =f (r). На торцах выделенного нами цилиндра поддерживаются давления p₁ и p₂ соответственно, что обуславливает результирующую силу:

F=p₁r² - p₂r² = (p₁-p₂)r².

На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная в данном случае:

,

где S = 2rl - площадь боковой поверхности цилиндра. Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выделенный цилиндр, уравновешены: F=F_тр. . Подставляя в это равенство выражение для F и F_тр и учитывая, что скорость уменьшается с увеличением r, т.е. (значит и F_тр надо взять со знаком «минус»), получаем:

.

Следовательно, имеем:

d = - .

Проинтегрируем это уравнение:

.

Здесь нижние пределы соответствуют слою, прилегающему к внутренней поверхности трубы ( = 0 при r = R), а верхние пределы – переменные. В результате интегрирования получаем параболическую зависимость скорости слоев жидкости от расстояния их до оси трубы (см. огибающую концов векторов скорости на рис.4)

. (8)

Из этого выражения видно, что наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0):

, (9)

а для пристеночного слоя (r = R) скорость равна “0”.

Установим от каких факторов зависит объем Q жидкости, протекающей через горизонтальную трубу за 1 секунду. Для этого выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr (см. рис. 5б). Площадь сечения этого слоя dS=2rdr, т.к. слой тонкий, то можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью . За 1с через слой переносится объем жидкости:

dQ=dS=2rdr. (10)

Подставляя (8) в (10), получаем: откуда интегрированием по всему сечению находим:

,

или

; . (11)

Эта зависимость известна под названием формулы Пуазейля или Гагена-Пуазейля. Этой формуле можно придать и такой вид:

, где . (12)

Величину Z называют гидравлическим сопротивлением. Оно обратно пропорционально четвертой степени радиуса и поэтому значительно возрастает с уменьшением радиуса трубы. Заметим, что если R удваивается, то Q возрастает в 16 раз. Аналогично, при уменьшении R поток значительно уменьшится. Так, если что-либо приведет к утомлению артериальных стенок (что вызывает уменьшение R), ослабевший поток крови может вызвать стенокардию, которая характеризуется болями в груди, сопровождающимися общим недомоганием.

Улучшения состояния можно достичь, приняв некоторые вещества, например, нитроглицерин, который расслабляет мышцы артериальных стенок, увеличивает R и, соответственно, увеличивает поток крови и уменьшает нагрузку на сердце.