Решение.

Так как силы притяжения корабля к Земле и Луне по модулю равны друг другу, то центростремительное ускорение кораблю

a = ω² R

должно сообщаться силой тяги двигателя. Следовательно, двигатель корабля работает. Космонавту же это ускорение сообщается силой N реакции пола. Согласно второму закону Ньютона эта сила равна по модулю

ma = m ω² R,

где R – радиус орбиты. Так как вес космонавта – это сила, с которой космонавт действует на корабль, то по третьему закону Ньютона вес Р космонавта равен -N. Следовательно,

Р = m ω² R = m(2π/T)²R.

Радиус орбиты корабля R можно найти из условия равенства (по модулю) сил его притяжения к Земле и Луне:

GM_ЗМ_K/R² = GM_ЗМ_K/(L – R)², откуда

R = LM_З^1/2 /(M_З^1/2 + M_Л^1/2 ) = 60R_З (81M_Л)^1/2 / [(81M_Л )^1/2 + M_Л^1/2 ] = 54R_З.

Поэтому

P = 54m(2π/T)²R_З = 1.8 Н

9 . Катушку тянут за нитку по полу, как показано на рисунке, причем ускорение катушки постоянно и равно а. При каком значении коэффициента трения между ободами катушки и полом катушка будет скользить не вращаясь? Радиус вала катушки r , ободьев R.

Ответ: k = ra/ g(R-r) .

Решение.

Катушка не будет вращаться, если момент сил трения относительно центра тяжести катушки будет равен моменту силы F , приводящей катушку в движение:

RF_тр = rF.

Т.к. F_тр = mgk , F = kmg+ ma , находим k = ra/ g(R-r) .

10. Однородный стержень, длина которого равняется l , а масса m , вращается с угловой скоростью ω в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через его конец. Найти силу натяжения стержня на расстоянии x от оси вращения.

Ответ: T_x = ½ (m/l) ω²(l² – x²).

Р азобьем стержень на n участков одинаковой длины (n → ∞) и рассмотрим произвольный участок с номером i. На этот участок действует упругая сила T_i+1 со стороны деформированного участка i+1 и сила T_i со стороны участка i-1. Так как масса i-го участка равна

(m/l)(r_i+1 – r_i),

а его ускорение

½ ω²(r_i+1 + r_i),

то на основании второго закона Ньютона можно записать

T_i - T_i+1 = (m/l)(r_i+1 – r_i) ½ ω²(r_i+1 + r_i)

или

T_i - T_i+1 = ½ (m/l )ω²(r_i+1² – r_i²).

Запишем уравнение движения для участков от n до k включительно, считая, что r_n+1 = l, а r_k = x:

-T_n = -½ (m/l )ω²(l² – r_n²),

T_n – T_n-1 = -½ (m/l )ω²(r_n² – r_n-1²),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

T_k+2 – T_k+1 = -½ (m/l )ω²(r_k+2² – r_k+1²),

T_k+1 – T_x = -½ (m/l )ω²(r_k+1² – x²).

В первом уравнении этой системы учтено, что упругая сила на конец стержня не действует, т.е. T_n+1 = 0. Сложив уравнения системы, получим искомую силу натяжения

T_x = ½ m ω²(l² – x²).

1 1. Тонкая трубка с петлей в форме окружности радиусом R закреплена на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту α. В верхний конец трубки, находящийся на расстоянии 2R от горизонтального диаметра петли, опускают без начальной скорости маленький шарик массой m . Шарик скользит внутри трубки без трения. С какой силой (по модулю) действует шарик на трубку в т. А, находящейся на горизонтальном диаметре петли? Ответ: |F| = mg(1+15sin²α)^1/2.