Решение

Е сли бы стенки не было, маятник совершал бы гармонические колебания с угловой амплитудой (максимальным углом отклонения от вертикали) β и с периодом

Т_о = 2π(l/g)^1/2.

При упругом столкновении со стенкой абсолютная величина скорости не меняется, а направление движения меняется на противоположное. Это означает, что период колебания маятника Т в присутствии стенки меньше Т_о на время τ, за которой маятник, совершая свободные колебания, отклонился бы от вертикали вправо от угла α до угла β и вернулся обратно.

Запишем уравнение гармонических колебаний для углового перемещения φ:

φ = βcosωt,

где ω = 2π/T_o. График зависимости φ(ωt) показан на рисунке. В момент времени t = 0 ω = β, т. е маятник находится в крайнем правом положении. Через некоторое время t₁ угол отклонения маятника от вертикали станет равным α. Из уравнения α = βcos(ωt₁) получаем

t₁ = (1/ω) arcos (α/β).

Из симметрии очевидно, что

τ = 2t₁ = (2/ω)arcos(α/β) = (T_o/π) arcos(α/β).

Тогда окончательно

T = T_o – τ = 2(l /g)^1/2[π – arcos (α/β)].

8. Из пункта А в пункт В был послан звуковой сигнал частоты ν = 50 Гц, распространяющийся со скоростью v = 340м/с. При этом на расстоянии от А до В укладывается целое число волн. Опыт повторили, когда температура воздуха была на Δθ = 20К выше, чем в первом случае. При этом число волн, укладывающихся на расстоянии от А до В, уменьшилось на две. Найти расстояние l между пунктами А и В, если при повышении температуры воздуха на 1 K скорость звука увеличивается на 0.5 м/с.

Ответ: l = 450м.

Решение.

Длина волны в первом опыте

λ = l/n,

где n – целое число длин волн, укладывающихся на расстоянии l. Во втором опыте

λ_Δθ = l/(n – 2).

До повышения температуры скорость звука была равна

v = νλ = νl/n,

а после повышения

v_Δθ = νλ_Δθ = νl/ (n – 2).

Так как n = νl/v, то

v_Δθ = νvl/(vl – 2v).

Скорость звука возрастает по линейному закону

v_Δθ = v( 1 + αΔθ) ,

где α = (0.5/340)K^-1. Подставляя в данное выражение v_Δθ , получим

l = 2v(1 + αΔθ)/(ν αΔθ) ~ 450м.

9. К верхнему концу цилиндрического сосуда, в который медленно наливают воду, поднесен звучащий камертон. Звук, издаваемый камертоном, заметно усиливается, когда расстояние от поверхности жидкости до верхнего конца сосуда достигают значений h₁ = 25см и h₂ = 75см. Найти частоту колебаний ν камертона. Скорость звука в воздухе v = 340м/с.

Ответ: ν = 340 Гц.

Решение.

Звучание камертона усиливается в тот момент, когда частота собственных колебаний воздушного столба в сосуде совпадает с частотой колебаний камертона. Собственные колебания воздушного столба в сосуде соответствуют установлению в нем стоячей волны такой длины λ, что у нижнего конца образуется узел смещений частиц воздуха, а у верхнего – пучность. Таким образом, в свободной части трубы h укладывается λ/4, 3λ/4, 5λ/4 и т.д., т.е. в общем случае

(2k + 1) λ/4 = h,

где k – целое число. Напомним, что в стоячей волне между двумя узлами укладывается половина длины волны.

Так как частота колебаний в звуковой волне

ν = v/λ,

то соответствующая некоторому значению k частота камертона

ν =(2k + 1) v/(4h).

По условию задачи частота имеет вполне определенное значение. Поэтому различным высотам воздушного столба h₁ и h₂ должны соответствовать два значения k, отличающиеся на единицу:

k₁ = n и k₂ = n + 1,

причем должно выполнять условие

(2k₁ + 1) v/(4h₁) = (2k₂ + 1) v/(4h₂);

отсюда найдем, что n = 0 и, следовательно, k₁ = 0 и k₂ = 1. Таким образом, частота колебаний камертона равна v = v/4h₁ = 3v/4h₂ = 340 Гц.

10. Тело находится в некоторой точке А внутри сферы. В каком случае оно быстрее достигнет нижней точки сферы В: если будет скользить по поверхности сферы или по наклонной плоскости АВ? Трение в обоих случаях пренебрежимо мало, начальная скорость тела равна нулю и расстояние АВ много меньше радиуса сферы.

Ответ: при движении по поверхности сферы.