Решение.

Запишем закон сохранения импульса для состояний сразу после удара и после остановки шайбы

m₁v – m₂v = (m₁ + m₂)u

и теорему об изменении кинетической энергии

½ (m₁ + m₂)u² – ½ (m₁ + m₂)v² = - μm₂gL.

Отсюда находим

μ = 2m₁v²/[Lg(m₁ + m₂)].

5. На сортировочной горке сталкиваются два медленно движущихся в одну сторону железнодорожных вагона. Пружины буферов смягчили удар и потом “растолкали” вагоны, так что удар можно считать упругим. Какова была максимальная энергия W упругой деформации пружин? Вагоны имеют массы m₁ и m₂, их скорости до столкновения равны v₁ и v₂.

Ответ: W = ½ m₁m₂(v₁ – v₂)²/(m₁ + m₂).

Решение.

В какой момент энергия упругой деформации пружины максимальна? Очевидно, когда вагоны на мгновение оказались неподвижными один относительно другого. Т.е. в тот момент, когда они движутся с одинаковой скоростью u относительно земли. Тогда законы сохранения импульса и энергии принимают вид:

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)u,

½ m₁v₁² + ½ m₂v₂² = ½ (m₁ + m₂)u² + W.

выражая u из первой формулы и подставляя это значение во вторую, получаем

W = ½ m₁m₂(v₁ – v₂)²/ (m₁ + m₂).

Если бы вагоны двигались навстречу друг другу, то скорость v₂ следует заменить на -v₂. Интересно, что при абсолютно неупругом ударе тех же вагонов переход кинетической энергии в другие формы измеряется той же величиной W.

6 . Две пластинки, масса каждой из которых равна m , скреплены пружиной жесткости k (см. рис.). Верхнюю пластинку опустили настолько, что деформация пружины стала равной x_o, и затем отпустили. На какую наибольшую высоту поднимется центр масс системы после того, как отпустили верхнюю пластинку?

Ответ: H = 1/8[kx_o²/(mg) – 2x_o – 3mg/k).

Решение.

До тех пор пока нижняя пластинка лежит на столе, из закона сохранения механической энергии следует, что

½ kx_o² – mgx_o = ½ kx² – mgx + ½ mv²,

где x – удлинение пружины, v – скорость верхней пластинки. В момент отрыва нижней пластинки от стола

kx = mg , x = mg/k,

причем v > 0. Учитывая эти соотношения, получим

½ mv² = ½ kx_o²– mgx_o – 3/4m²g²/k > 0.

Для того чтобы это соотношение выполнялось, должно быть

x_o > 3mg/k.

Скорость центра масс в момент отрыва нижней пластинки от стола равна v_c = ½ v. После отрыва нижней пластинки от стола центр масс будет двигаться вверх равнозамедленно с ускорением g и начальной скоростью v. Следовательно, максимальная высота подъема центра масс

H_c = ½ v²/g = v²/8g = 1/8[kx_o²/(mg) – 2x_o – 3mg/k),

где центр масс отсчитывается от положения центра масс в момент отрыва нижней пластинки от стола. (Эта задача дает представление о процессах, происходящих при прыжках в высоту).

7. На концах и в середине невесомого стержня длины L расположены одинаковые шарики. Стержень ставят вертикально и отпускают. Считая, что трение между плоскостью и нижним шариком отсутствует, найти скорость верхнего шарика в момент удара о горизонтальную поверхность. Что изменится, если нижний шарик шарнирно закреплен?

Ответ: v = 2[3gL/5]^1/2.

Т.к. в горизонтальном направлении на систему не действуют никакие внешние силы, то центр масс системы (средний шарик) движется вертикально. Это означает, что в момент, когда верхний шарик касается плоскости, скорость нижнего шарика равна нулю, а скорость верхнего направлена вертикально и по модулю вдвое больше скорости среднего шарика. Заметим, что хотя движение в случае шарнирного закрепления нижнего шарика отличается от этого случая, вывод о соотношении скоростей справедлив.

По закону сохранения энергии

Mg( ½ L) + MgL = ½ Mv² + ½ M( ½ v),

где М – масса одного шарика. Отсюда

v = 2[3gL/5]^1/2.

8. Из бункера с высоты Н = 1 м высыпалась порция песка массой m = 1 кг и попала в пустую вагонетку массой 2m, движущуюся горизонтально со скоростью v = 3 м/с. Пренебрегая сопротивлением движению вагонетки со стороны рельсов. Определить: 1) скорость вагонетки с песком, 2) на сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия вагонетки, песка и окружающих тел? (МФТИ, 1996)

Ответ: u = 2 м/с, W = 13 Дж.

Решение.

Будем считать взаимодействие порции песка и вагонетки абсолютно неупругим. На систему вдоль направления движения вагонетки никакие внешние силы не действуют и, следовательно, проекция импульса вдоль этого направления должна сохраняться

(2m)v = mu + (2m)u,

где u – скорость системы песок+вагонетка после взаимодействия. Отсюда

u = 2v/3 = 2 м/с.

Закон сохранения энергии для этого случая можно записать в виде

½ (2m)v² + mgH = ½ (3m)u² + W,

где W – суммарная внутренняя энергия вагонетки, песка и окружающих тел. Отсюда

W = ½ (2m)v² + mgH - ½ (3m)u² = 13 Дж.