Решение.

Решим задачу в неподвижной системе координат. Скорость сближения шарика и плиты

v + u,

время до столкновения

t₁ = S/ (v + u),

за это время шарик удалится от точки А на расстояние

S₁ = Sv/ (v+ u).

После столкновения шарика с массивной, двигающейся навстречу ему, плитой его скорость в неподвижной системе координат равна

v + 2u,

поэтому после отскока он пройдет расстояние S₁ до точки А за время

t₂ = S₁/ (v + 2u) = Sv/ [(v + u) (v + 2u)].

Таким образом, время, за которое шарик вернется в точку А, равно

t₁ + t₂ = 2S/ (v + 2u).

7 . Человек находится на берегу озера в точке А. Ему необходимо в кратчайшее время попасть в точку В, находящуюся на озере (см. рис.). Расстояние от точки В до берега ВС = d, а расстояние АС = S. Скорость движения человека в воде v₁, а по берегу v₂ > v₁. Каким путем должен двигаться человек: плыть из точки А по прямой АВ или пробежать по берегу некоторое расстояние и после этого плыть по направлению к точке В?

Ответ: надо пробежать по берегу отрезок AD = S - dv₁/ (v₂² – v₁²)^1/2 .

Решение.

П редположим, что траектория движения человека – ломанная линия ADB (см. рис.). Необходимо определить при каком значении х время будет минимальным. Время движения

t = (d² + x²)^1/2 /v₁ + (S – x)/v₂ =

[v₂(d² + x²)^1/2 – v₁x + v₁S] / (v₁v₂).

Это время будет минимальным, если

y = v₂(d² + x²)^1/2 – v₁x

будет иметь наименьшее значение. Очевидно, что х, соответствующее минимальному времени t , не зависит от расстояния S.

Для нахождения х, соответствующего минимальному значению y, выразим х через y и получим квадратное уравнение

x² - 2xyv₁/ (v₂² – v₁²) + (v₂²d² – y²) / (v₂² – v₁²) = 0.

Решение его приводит к следующему выражению:

x = { v₁y ± v₂ [y² + d²v₁² – v₂²d²]^1.2 / (v₂² – v₁²).

Так как х не может быть комплексным, то

y² + d²v₁² – v₂²d² ≥ 0.

Минимальное значение y равно

y_min = d (v₂² – v₁²)^1/2.

Этому значению y соответствует

x = dv₁/ (v₂² – v₁²).

Если S ≤ dv₁/ (v₂² – v₁²), то следует сразу плыть по прямой АВ к точке В. В противном случае надо пробежать по берегу отрезок AD = S - dv₁/ (v₂² – v₁²), а потом плыть к В. Отметим, что для пути, соответствующего кратчайшему времени, sinα = v₁/v₂.

8. Автомобиль, движущийся по прямолинейному отрезку шоссе со скоростью u = 120 км/ч, приближаясь к стоящему у шоссе человеку, издает звуковой сигнал длительностью τ = 5 с. В течение какого времени Δt будет слышать этот сигнал человек? Скорость звука в воздухе считать равной v = 340 м/с.

Ответ: Δt ~ 4.5 c.

Решение.

Пусть автомобиль начал издавать звуковой сигнал в момент времени t = 0, находясь от человека на расстоянии L. Поскольку скорость звука определяется характеристиками воздуха, которые не зависят от скорости движения автомобиля, то до человека передний фронт звуковой волны дойдет в момент

t₁ = L/v.

Если считать, что к моменту окончания звукового сигнала автомобиль еще не доехал до человека, т.е. L > uτ, и человек стоит практически на прямой, вдоль которой движется автомобиль, то расстояние между человеком и автомобилем в этот момент времени будет равно L – uτ , а задний фронт звуковой волны достигнет человека в момент времени

t₂ = τ + (L – uτ)/v.

Таким образом, человек будет слышать звуковой сигнал в течение времени

Δt = t₂ – t₁ = τ(1 – u/v) ~ 4.5 c.

Если же автомобиль во время подачи звукового сигнала проехал мимо человека в момент времени t₃ , т.е. L = ut₃ < uτ, то в момент окончания звукового сигнала автомобиль будет находиться на расстоянии (τ – t₃)u , удаляясь от человека. Следовательно, задний фронт звуковой волны достигнет человека в момент времени t₂ = τ + (τ – t₃₎u/v, и длительность звукового сигнала услышанного человеком, стоящим вблизи от прямой, по которой движется автомобиль, равна

Δt = t₂ – t₁ = τ(1 + u/v) – 2ut₃/v ~ 5.5 c – 0.196t₃,

где t₃ должно быть выражено в секундах и удовлетворять неравенству 0 < t₃ < τ.

9. Круглое ядро радиуса R , движущееся со скоростью v пролетает сквозь рой мух, движущихся со скоростью u перпендикулярно направлению полета ядра. Толщина роя равна d , в единице объема находится n мух. Сколько мух убьет ядро? Влиянием силы тяжести пренебречь.

Ответ: N = ndπR²[1 + (u/v)²]^1/2.