Решение

Сила реакции со стороны трубки имеет две составляющие – N_R и N_n. Составляющая N_R сообщает шарику центростремительное ускорение и направлена к центру петли. Составляющая N_n направлена по нормали к наклонной плоскости и компенсирует соответствующую составляющую силы тяжести.

N_R = mv²/R,

N_n = mgcosα.

Здесь v – скорость шарика в т. А может быть найдена из закона сохранения энергии

mg2Rsinα = ½ mv².

Сила, с которой шарик действует на трубку

F = - (N_R + N_n).

Поскольку силы N_R и N_n взаимно перпендикулярны, то для модуля силы F получим

F = (N_R² + N_n²) = mg(cosα² + 16sinα²)^1/2 = mg(1 + 15sinα²)^1/2

1 2. Обруч радиуса R вращается в горизонтальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью ω. Небольшой кусочек обруча массой m вырезан так, как показано на рисунке. К точкам А и В прикреплены концы пружинного динамометра массой m . Каковы показания динамометра? Угол α считать малым. Ответ: F = m ²R/ α.

Решение

С илы, действующие на динамометр со стороны обруча, показаны на рисунке. Эти силы обусловлены возникающими при вращении деформациями. Их составляющие направлены к центру обруча, и вызывают центростремительное ускорение динамометра (такие же силы действуют на каждый элемент обруча и сообщают ему центростремительное ускорение). Уравнение движения динамометра

Fsin( ½ α) + Fsin( ½ α) = mω²R.

Учитывая, что sin(½ α) ≈ ½ α, имеем

2F( ½ α) = mω²R.

Отсюда получаем силу, которую показывает динамометр

F = mω²R/α.

2.3. Статика.

1 . На цилиндр массы m намотана невесомая нерастяжимая нить (см. рис.). С какой наименьшей силой, и под каким углом к горизонту нужно тянуть эту нить, чтобы цилиндр, вращаясь, оставался на месте? Коэффициент трения между цилиндром и полом равен k.

Ответ: F_min = kmg/ (1 + k²)^1/2, tgα = k.

Решение.

С илы, действующие на цилиндр, изображены на рисунке. Т.к. цилиндр не движется поступательно, то

f – Fcosα = 0,

Fsinα – mg +N = 0.

Сила трения f = kN. Отсюда

F = kmg/ (cosα + ksinα ).

Знаменатель этого выражения можно представить в виде

Asin (α + φ), где A = (1 + k²)^1/2.

Следовательно, минимальная сила, с которой нужно тянуть нить,

F_min = kmg/ (1 + k²)^1/2.

Угол α найдется из уравнения

cosα + ksinα = (1 + k²)^1/2.

Откуда

tgα = k.

2 . Опорами однородного бруска массы m являются два полуцилиндра, левый из которых имеет коэффициент трения о стол равный k₁ , а правый – k₂ (см. рис.). Какую горизонтальную силу F надо приложить к бруску, чтобы он двигался равномерно? Размерами опор пренебречь. Параметры L и d , указанные на рисунке, считать известными. (НГУ)

Ответ: F = [mg (k₁ + k₂)]/ {2[1 + d (k₁ - k₂)/L]}.

Решение.

Имеем

N₁ + N₂ = mg,

f₁ + f₂ = F,

f₁ = k₁N₁, f₂ = k₂N₂ ,

где N₁ и N₂ – силы, действующие на опоры, f₁ и f₂ – силы трения опор о поверхность стола. Уравнение моментов относительно центра тяжести:

(f₁ + f₂) d + ½ (N₁ + N₂) L = 0.

Система уравнений дает

F = [mg (k₁ + k₂)]/ {2[1 + d (k₁ - k₂)/L]}.

Уравнение моментов относительно любой из опор естественно дает тот же результат.

3. На краю стола лежит однородный брусок массы M и длины L, выступающий за край на расстояние d . Брусок закреплен на шарнире и может вращаться вокруг края стола. К концу бруска подвешен на нити длины s груз массы m. Груз отклонили на некоторый угол α и затем отпустили. При каком угле α брусок начнет поворачиваться? 0^о < α < 90^o. (НГУ)

Ответ: 1 ≥ cosα ≥ 3/2 – ½ (M/m)[½ (L/d) –1].