3.4. Механические колебания.

1 . Закрепленная на концах струна растянута с силой f. К середине струны прикреплен точечный груз массы m (см. рис.). Определить период малых колебаний прикрепленного груза. Массой струны пренебречь; силу тяжести не учитывать.

Ответ: T = 2π[mL/ (4f)]^1/2 = π[mL/f]^1/2.

Решение.

С ила, действующая на отклоненный от положения равновесия груз, равна

F = 2fsinα

(см. Рис.). Так как угол α мал, то можно считать, что

F = 4fx/L,

или

F = kx,

где k = 4f/L.

По второму закону Ньютона

mx^// = - kx,

или

mx^// + kx = 0.

Отсюда

T = 2π[mL/ (4f)]^1/2 = π[mL/f]^1/2.

2. На внутренней поверхности тонкого обода велосипедного колеса, которое может свободно вращаться вокруг своей горизонтальной оси, закреплен небольшой по размерам грузик массы m. Радиус обода равен R, а масса колеса равна М. Пренебрегая массой спиц и втулки колеса, найти период малых колебаний колеса с грузиком.

Ответ: T = 2π[(m + M) R/ (mg)]^1/2.

Решение.

Если колесо повернуть на небольшой угол α от положения равновесия, а затем отпустить, то груз пройдет положение равновесия со скоростью v_o . Такую же скорость будут иметь и все остальные точки обода. Поскольку массой спиц и втулки колеса можно пренебречь и колесо может свободно вращаться вокруг своей оси, кинетическая энергия колеса с грузом в этот момент времени

Wк = ½ (m + M)v²_o

должна быть равна работе силы тяжести

A = mgh,

где h = R(1 – cosα)= 2Rsin²(α/2). Учитывая, что при α << 1 sinα ~ α, можно полагать, что

½ (m + M)v²_o = ½ mgα²,

т.е. амплитуда скорости v_o пропорциональна амплитуде смещения Rα груза от положения равновесия вдоль траектории его движения. Отсюда следует, что при малых отклонениях от положения равновесия колесо с грузом в отсутствии сил трения будет совершать гармонические колебания и смещение груза должно подчиняться уравнению

s(t) = Rαsin(ωt + φ),

где ω – угловая частота колебаний, а φ – постоянная, зависящая от выбора начала отсчета времени t. Поскольку

v(t) = ω Rαcos(ωt + φ)

и, следовательно, v_o = ω Rα. Учитывая, что период колебаний T = 2π/ω, получим

T = 2π[(m + M)R/(mg)]^1/2.

3 . Маленькую бусинку повесили на невесомую пружину. При этом длина пружины стала равной L. По диаметру в бусинке сделан горизонтальный канал, в который вставили гладкую спицу. Спицу закрепили горизонтально так, что длина пружины осталась равной L. Найти период малых колебаний бусинки. (МГУ, физ. фак.,1995г.)

Ответ: T = 2π(L/g)^1/2.

Решение.

Пусть ось ОX совпадает с осью спицы, а ее начало с положением бусинки при равновесии. Поскольку при малых отклонениях от положения равновесия |x|/L << 1, то натяжение пружины можно считать неизменным и, согласно условию задачи, равным силе тяжести mg. Из условия задачи следует, что действием сил трения можно пренебречь. Поэтому уравнение движения бусинки будет иметь вид

m

L

X x O

x^// = -mgsin = mgx/L

и искомый период колебаний

T = 2π(L/g)^1/2.

4 . На бруске массой М = 100 г, находящемся на гладкой горизонтальной плоскости, вертикально установлен легкий стержень, к которому привязана нить длиной L = 25 см с грузом массой m = 50 г (см. рис.). Нить с грузом отклоняют на небольшой угол от вертикали и отпускают. Определить период возникших колебаний груза, считая их гармоническими. (МАИ,1999)

Ответ: T = 2π[(m + M)L/gM]^1/2.