Решение.
Заряд Q шара можно определить из соотношения
1 = k Q / r ;
после соединения шар и оболочка образуют единый проводник, все точки которого имеют одинаковый потенциал 2 . Поскольку весь заряд перейдет на внешнюю поверхность этого проводника (иначе между шаром и сферой будет существовать разность потенциалов) ,
2 = k Q / R.
Отсюда
2 = 1 r / R . (потенциал шара уменьшится)
Если оболочку заземлить (не соединяя ее с шаром), то она получит от Земли такой отрицательный заряд q , что ее потенциал
k Q / R + k q / R = 0
Значит , q = - Q (при этом система в целом электрически нейтральна и не создает поля снаружи). Поле заряда q обеспечивает оболочке (и шару ) потенциал
k q / R = - k Q / R.
Согласно принципу суперпозиции потенциал шара
3 = k Q / r - k Q / R = 1 ( 1 – r / R )
К ответу на последний вопрос можно подойти и иначе. До заземления оболочка имела потенциал
k Q / R = 2 .
Заряд, пришедший на оболочку, уменьшает ее потенциал до нуля, но не изменяет поля внутри сферы, а значит, разности потенциалов между шаром и оболочкой. Поэтому
1 - 2 = 3 - 0 , откуда
3 = 1 (1 – r / R).
3
.
Три одинаковых проводящих шара расположены
в вершинах равнобедренного прямоугольного
треугольника, катеты которого велики
по сравнению с радиусами шаров, L >>
r (см. рис.). Вначале заряд имеется лишь
на шаре 1. затем шары 1 и 2 соединяют
проводником, после чего проводник
убирают. Потом такую же процедуру
совершают с шарами 2 и 3 , а затем с шарами
3 и 1. Какой заряд после этого окажется
на каждом шаре. (Меледин, 3.10)
Ответ: q1 = q3 = 3q/8, q2 = ¼ q.
Решение.
После соединения шаров 1 и 2 заряды на них одинаковы и равны ½ q. После соединения шаров 2 и 3 заряды на них одинаковы и равны ¼ q. Если пренебречь влиянием заряда шара 2 на заряд шаров 1 и 3 , то после соединения шаров 1 и 3 заряды на них
q1 = q3 = ½ ( ½ q + ¼ q) = 3q/8
и искомое отношение таково:
q1 : q2 : q3 = 3: 2: 3.
4
.
Разноименные точечные заряды q и -q
находятся на расстояниях L1
и L2 от заземленной сферы
малого радиуса r (см. рис.). Расстояние
от зарядов до поверхности земли и других
заземленных предметов много больше L1
и L2 . Найти силу, с которой
заряды действуют на сферу. Угол с вершиной
в центре сферы, образованный прямыми,
проведенными через заряды, равен 90о.
(Меледин, 3.11)
Ответ: F = k(q/L1L2)2 r(1/L2 – 1/L1)(L14 + L24)1/2 , tgα = - (L2/L1)2.
Решение.
Потенциал заземленной сферы равен нулю, в частности он равен нулю в центре сферы, там он равен сумме потенциалов полей зарядов q и -q и индуцированного заряда Q сферы:
Q/r + q/L1 – q/L2 = 0,
отсюда
Q = qr(1/L1 – 1/L2).
Заряды 1 и 2 действуют на сферу с силами
F1 = kQq/L12 = k(q/L1)2 r(1/L2 – 1/L1),
F2 = - kQq/L22 = - k(q/L2)2 r(1/L2 – 1/L1).
Суммарная сила, действующая на сферу,
F = (F12 + F22)1/2 = k(q/L1L2)2 r(1/L2 – 1/L1)(L14 + L24)1/2,
tgα = F1/F2 = - (L2/L1)2.
5. Внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в верхней точке? Диаметр сферы d, заряд шарика q, его масса m. (Слободецкий, 101)
Ответ: Q ≥ 2mgd2/q.