Решение.

Очевидно, что при закрепленном поршне газ не совершает работы и потому Q₁ = U. В случае, когда поршень не закреплен, газ расширяется изобарно. При этом изменение U его внутренней энергии такое же: ведь внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Работа газа при расширении

А = PV,

так что

Q = U + A = Q₁ + PV.

Учтем также, что

P = mg/S + Р_а

и

V/V_o = Т/T_o

(т.к. при изобарном процессе объем прямо пропорционален абсолютной температуре газа). Тогда

Q = Q₁ + [(mg + P_aS)V_oТ]/ST_o = 126Дж.

23. Идеальный газ массы m = 80г и молярной массы μ = 40г/моль нагревают в цилиндре под поршнем так, что температура изменяется пропорционально квадрату давления ( Т ~ P²) от начального значения Т₁ = 300К до конечного Т₂ = 400К. Определить работу, совершаемую газом в этом процессе, и количество подведенного к нему тепла.

Ответ: Q = 3.3кДж.

Решение.

Н арисуем график процесса в координатах Р, V. Из уравнения состояния идеального газа

P V = (m/μ) RT

и условия

T = kP²,

где k = const, получаем

P = (μV)/(mRk),

т.е. уравнение прямой, проходящей через начало координат. Работа газа равна заштрихованной площади трапеции:

A = ½ (P₁ + P₂)(V₂ – V₁) = ½ (mRk/μ)(P₂² – P₁²) = ½ (mR/μ)(T₂ – T₁) = 830Дж.

Количество тепла найдем из первого закона термодинамики:

Q = ΔU + A = (m / μ) 3/2 R(T₂ – T₁) + ½ (m / μ) R (T₂ – T₁) = 2 (m / μ) R (T₂ – T₁) =

4A = 3.3кДж

24. Моль идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из двух изобар и двух изохор. Отношение давлений на изобарах α = 1.25, а отношение объемов на изохорах β = 1.2 . Найти работу, совершенную газом за цикл, если разность максимальной и минимальной температур газа в цикле составляет ΔТ = 100К. (МФТИ, до91г)

Ответ: A = R ΔТ(α –1)( β –1)/(α β –1).

Решение.

Н арисуем цикл в координатах Р, V (см. рис.);

α = Р₂/Р₁, β = V₂/V₁;

минимальная температура – T₁, максимальная Т₃ ,

Т₃ – Т₁ =ΔТ.

Работа за цикл равна площади цикла

A = (P₂ – P₁)(V₂ – V₁) = P₁V₁(α – 1)( β – 1) = RT₁(α – 1)( β – 1).

P₂/P₁ = T₂/T₁ = α ;

V₂/V₁ = T₃/T₂ = β → T₃/T₁ = α β

Откуда

T₁ = ΔТ/( α β - 1).

Итак

A = R ΔТ(α – 1)( β – 1)/( α β - 1) = 83Дж.

2 5. Моль идеального газа переводят из состояния 1 в состояние 3 по изохоре 1-2, а затем по изобаре 2-3 (см. рис.). На изохоре газу сообщается такое же количество тепла Q = 3675Дж, какое выделяется на изобаре. Найти конечную температуру газа, если начальная температура t₁ = 27^оС. Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме С_v = 1Дж/(мольК).

Ответ: Т₃ =350К.

Решение.

Для тепла, сообщенного газу на изохоре можно записать

Q = C_V(T₂ – T₁),

откуда

T₂ = T₁ + Q/C_V.

Тепло сообщенное газу на изобаре выражается в виде

Q = C_P(T₃ – T₂),

откуда

T₃ = T₂ –Q/C_P = T₁ +Q(1/C_V – 1/C_P),

И, поскольку для идеального газа справедливо соотношение

С_P = C_V + R,

то

T₃ = T₁ + QR/[C_V(C_V + R)] = 350K.

26. В цилиндрическом сосуде под поршнем вначале находится ν = 1 моль водяного пара при температуре Т и давлении Р. Давление насыщенного пара воды при этой температуре равно 2Р. Поршень вдвигают ток, что первоначальный объем под поршнем уменьшается в четыре раза. Найти массу сконденсировавшейся воды, если температура остается неизменной. Молярная масса воды μ = 18 г/моль. (Меледин, 2.41)

Ответ: m = 9г.