Решение.

КПД реального теплового двигателя определяет формула

η = (Q₁ – Q₂)/Q₁ ,

где Q₁ – количество теплоты, переданной нагревателем рабочему веществу в процессе его изохорного нагревания, которому соответствует участок 1 – 2, Q₂ – количество теплоты, переданной газом холодильнику в процессе его изохорного охлаждения, чему соответствует участок 3 – 4. При изохорных процессах работа А = 0, тогда согласно первому закону термодинамики

Q₁ = ΔU₁ = (3/2) νR ΔT₁ и Q₂ = ΔU₂ = (3/2) νR ΔT₂,

где в соответствии с уравнением Менделеева-Клайперона при изохорных процессах

νR ΔT₁ = ΔР₁V₁ и νR ΔT₂ = ΔР₂V₂ ,

поэтому

Q₁ = (3/2) ΔР₁V₁ и Q₂ = (3/2) ΔР₂V₂.

Здесь ΔU₁ и ΔU₂ – изменение внутренней энергии газа при изохорных процессах 1-2 и 3-4 , R – молярная газовая постоянная, ΔТ₁ и ΔТ₂ – изменения температур газа в процессах изохорного нагревания и охлаждения, ΔР₁ и ΔР₂ – изменения давления газа в этих процессах , V₁ - объем газа в процессе 1-2 , V₂ - объем газа в процессе 3-4 . После этого для КПД реального теплового двигателя получим

η = (ΔР₁V₁ - ΔР₂V₂)/ ΔР₁V₁.

Максимальный КПД идеального теплового двигателя определяется формулой

η_max = (Т₁ – Т₂)/Т₁ ,

где Т₁ – абсолютная температура нагревателя, Т₂ – абсолютная температура холодильника. Если в состоянии 2 газ находится в тепловом равновесии с нагревателем, то его температура в этом состоянии равна температуре нагревателя Т₁ . Аналогично, если в состоянии 4 газ оказался в тепловом равновесии с холодильником, то его температура в этом состоянии равна температуре холодильника Т₂ , т.е. в состоянии 4 температура газа стала равна Т₂. Для нахождения температур Т₁ и Т₂ воспользуемся уравнением Менделеева-Клайперона, применив его к состояниям газа 2 и 4:

P₂V₁ = ν RT₁ и P₄V₂ = ν RT₂ .

Отсюда

Т₁ = P₂V₁/(ν R) и Т₂ = P₄V₂/(ν R) .

После этого для КПД идеального двигателя получим

η_max = (P₂V₁ - P₄V₂)/ (P₂V₁) = 0.75.

1 9. В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем, площадь сечения которого равна S, находится один моль газа при температуре Т_о и давлении Р_о (см. рис.). Внешнее давление постоянно и равно Р_о. Газ нагревают внешним источником теплоты. Поршень начинает двигаться, причем сила трения скольжения равна f. Найти зависимость температуры газа Т от получаемого им от внешнего источника количества теплоты, если в газ поступает еще и половина количества теплоты, выделяющегося при трении поршня о стенки сосуда. Построить график этой зависимости. Внутренняя энергия одного моля газа U = cT. Теплоемкостью сосуда и поршня пренебречь. (Меледин, 2.65)

Ответ: T = Q/c + T_o при Q ≤ Q_кр ; T = T_кр + (Q - Q_кр)/{c + ½ R [1 + (T_o/T_кр)]} при Q > Q_кр, где Q_кр = cT_of/(P_oS) , Т_кр = [1 + f/(P_oS)]Т_о.

Решение.

Пока поршень покоится, вся теплота идет на нагрев газа:

ΔU = c(T – T_o) = Q, → T = Q/c + T_o при T ≤ T_кр .

Найдем, используя условие равновесия и закон Шарля, критическую температуру Т_кр, при превышении которой поршень начнет двигаться:

(P_кр – Р_о)S = f, P_кр /Т_кр = P_o/T_o.

Отсюда

Т_кр = [1 + f/(P_oS)]Т_о , Q_кр = cT_of/(P_oS).

Запишем первое начало термодинамики:

Q - Q_кр + ½ A_тр = с (T - Т_кр) + P_кр(V – V_o), где

½ A_тр = ½ f (V – V_o) S = ½ (P_кр + P_o) (V – V_o).

Таким образом,

Q - Q_кр = с (T - Т_кр) + ½ (P_кр + P_o) (V – V_O).

Так как

P_крV = RT, P_oV = RT_кр,

то

½ (P_кр + P_o) (V – V_o) = ½ R (1 + (T_o/T_кр)] (T - Т_кр).

Окончательно

Q - Q_кр = (T - Т_кр) + {c + ½ R [1 + (T_o/T_кр)]} при T > T_кр.

T = T_кр + (Q - Q_кр)/{c + ½ R [1 + (T_o/T_кр)]}.

Г рафик зависимости T от Q оказался ломаной линией (см. рис.) состоящей из двух отрезков прямой. Точка излома

Т_кр = [1 + f/(P_oS)]Т_о , Q_кр = cT_of/(P_oS).

2 0. Моль одноатомного идеального газа из начального состояния 1 с температурой Т₁ = 100К, расширяясь через турбину в пустой сосуд, совершает некоторую работу и переходит в состояние 2 (см. рис.). Этот переход происходит адиабатически, без теплообмена. Затем газ квазистатически сжимают в процессе 2-3 , в котором давление является линейной функцией объема и, наконец, в изохорическом процессе 3-1 газ возвращается в исходное состояние. Найти работу, совершенную газом при расширении через турбину в процессе 1-2, если в процессах 2-3-1 к газу в итоге подведено Q = 72Дж тепла. Известно, что Т₂ = Т₃, V₂ = 3V₁.

(МФТИ,86-88) Ответ: А₁₂ = 3/2R(T₁ – T₂) = 625Дж.