Решение.
В первом и во втором случаях конденсаторы оказываются соединенными так, что для разностей потенциалов на конденсаторах получим
q12/C1 = (q02 – q12)/C2,
q13/C1 = (q03 – q13)/C3,
где q02 и q03 – первоначальные заряды на конденсаторах 2 и 3. Для третьего случая из закона сохранения заряда следует, что
q02 = q1 + q2 ,
q03 = q1. + q3.
На конденсаторе 1 после соединения с конденсаторами 2 и 3 разность потенциалов оказывается равной суммарной разности потенциалов на заряженных конденсаторах 2 и 3:
q1/C1 = q2/C2 + q3/C2.
Заметим, что у соединенных между собой конденсаторов 2 и 3 суммарный заряд
q3 – q2 = q03 – q02
на внутренних обкладках отличен от нуля. Отсюда
q1 = [q12(C1/C2 + 1) + q13(C1/C3 + 1)]/(1 + C1/C3 + C1/C2).
1
1.
Два проводящих шара радиусов r
и R расположены
далеко друг от друга и соединены с
обкладками конденсатора емкости С (см.
рис.). Шару радиуса r,
отсоединив его от обкладки, сообщили
заряд Q, а после
зарядки снова присоединили. Какой заряд
оказался на другом шаре? Емкостью
проводов пренебречь. (Меледин, 3.54)
Ответ: q = Q{1 + r[1/R + 1/(kC)]}.
Решение.
Пусть на обкладке конденсатора окажется заряд q, тогда на шаре останется заряд Q – q. На другой обкладке возникает заряд -q , а на шаре радиуса R – заряд +q (по закону сохранения заряда). Приравнивая разности потенциалов между обкладками и между шарами, получаем
q/C = k(Q – q)/r – kq/R,
откуда
q = Q{1 + r[1/R + 1/(kC)]}.
1 2. Трем одинаковым изолированным конденсаторам, емкости с каждый, были сообщены заряды q1, q2 и q3 (см. Рис.). Конденсаторы соединили. Найти новые заряды на конденсаторах. (Меледин, 3.60)
Ответ: q/1 = (1/3)(2q1 – q2 – q3), q/2 = (1/3)(2q2 – q1 – q3), q/3 = (1/3)(2q3 – q1 – q2).
Решение.
По закону сохранения заряда имеем
q1 – q2 = q/1 – q/2,
q2 – q3 = q/2 – q/3.
Если провести вдоль цепи единичный заряд, вернувшись в первоначальную точку, то работа по перемещению этого заряда будет равна нулю. Это дает
( U1/ + U2/ + U3/) = q/1/C + q/2/C + q/3/C = 0.
Отсюда получаем
q/1 = (1/3)(2q1 – q2 – q3),
q/2 = (1/3)(2q2 – q1 – q3),
q/3 = (1/3)(2q3 – q1 – q2).
13. Определить разность потенциалов между точками А и В в схеме, изображенной на рисунке. Ответ: φА - φВ = ε (С1С4 – С2С3)/[(C1 + C2)(C3 +C4)].
Решение
Сумма падений напряжений на конденсаторах каждой из ветвей цепи равна приложенной ЭДС, а заряды одинаковы:
U1 + U2 = ε, C1U1 = C2U2,
U3 + U4 = ε, C3U3 = C4U4.
Решая каждую пару этих уравнений, найдем:
U1 = ε / [1 + (C1/C2)] = ε C2/ (C1 + C2) и
U3 = ε / [1 + (C3/C4)] = ε C4/ (C3 + C4).
Очевидно, что разность потенциалов между точками А и В равна
U4 – U2 = U1 – U3 = ε (С1С4 – С2С3)/ [(C1 + C2) (C3 +C4)].
1 4. Плоский воздушный конденсатор подключен через гальванометр к источнику с постоянной ЭДС. При этом заряд на конденсаторе q. Параллельно пластинам вводится металлическая заряженная плита, заряд которой Q. Геометрические размеры указаны на рисунке. Какой заряд протечет через гальванометр?
Ответ: Δq = (2q +Q)/6 .