Решение

П усть тело массой m движется по тоннелю в виде хорды KL, изображенному на рисунке. В некоторый момент времени это тело имеет координату х. В этот момент со стороны Земли на него действует сила тяжести, равная

F = G[ρ(4πr³/3)]m/r² = GmMr/R³,

где М – масса Земли, ρ = М/(4πR³/3)] - ее плотность, r – радиус окружности, проходящей через тело массой m. проекция этой силы на ось х равна

F_x = -Fcosα = - F(x/r) = - GmMx/R³ = mg(x/R),

где g – ускорение свободного падения на поверхности Земли. Таким образом, уравнение движения приводится к виду

mx^// = - mg(x/R) → x^// + (g/R) x = 0.

Это уравнение описывает гармонические колебания с циклической частотой

ω = (g/R)^1/2.

Вагон достигнет цели через время, равное половине периода колебаний τ = π(g/R)^1/2 ≈ 42 мин.

Решение уравнения гармонических колебаний имеет вид

x(t) = Acos(ωt + φ_o),

где постоянные А и φ_o находятся из начальных условий

x(0) = ½ L, x^/(0) = 0 → A = ½ L, φ_o = 0.

Тогда

x(t) = ½ Lcosωt, v(t) = x^/(t) = - ½ Lωsinωt.

Отсюда абсолютная величина максимальной скорости вагона

v_max = ½ L(g/R)^1/2 ≈ 0.6 км/с.

Максимальную скорость можно найти и сразу. Воспользовавшись связью при гармонических колебаниях между v_max и амплитудой колебаний v_max = ½ Lω.

IV.Механика жидкости и газа.

Вопросы:

Вопрос. В мире существует несколько каналов, пересекающих препятствие по мосту. Как увеличится нагрузка на мост, если по каналу будет проплывать судно массой 100т? Средняя плотность судна 0.8г/см³.

Ответ. Давление на мост не изменится. Гидростатическое давление равно ρgh, где h – глубина канала, которая не изменится при прохождении судна по мосту.

В опрос. К конической воронке приклеили дно (см. рис.). Прочность клея такая, что, если ставить на дно гирю, максимальная масса гири, при которой дно не отваливается, равна 1кг. Отвалится ли дно, если вместо гири налить в воронку 1кг воды?

Ответ. Когда на дно поставлена гиря, сила, действующая на дно, равна весу гири. Когда в воронку налита вода, сила, действующая на дно, равна произведению давления воды на площадь дна, т.е. равна весу вертикального цилиндра воды с площадью, равной площади дна и, следовательно, больше 1кг. Дно отвалится.

Вопрос. Изменится ли уровень океана, если растают все айсберги?

Ответ: Если бы айсберги имели такой же состав воды, как в океане, уровень не изменился бы - плавающее тело вытесняет столько воды, сколько оно само весит. Но, т.к. айсберги состоят из замерзшей пресной воды, а вода в океане – соленая, с несколько большей плотностью, уровень океана слегка повысится.

Вопрос. На весах уравновешен стакан, до краев полный воды. В воду осторожно погружают привязанный на нитке камень и держат его за нитку так, чтобы он не касался дна, ни стенок стакана. Вода, вытекшая из стакана, на весы не попадает. Нарушится ли равновесие весов?

Ответ. Равновесие не нарушится, т.к. камень действует на воду с той же силой, что

вода действует на камень; это Архимедова сила, и она равна весу вытекшей воды.

Можно рассуждать и по-другому: т.к. высота жидкости в стакане осталась прежней, давление на дно не изменилось, следовательно, равновесие не нарушится.

Вопрос. В стакане плавает кусок льда с вмерзшим в него камешком. Изменится ли уровень воды, когда лед растает?

Ответ. Лед вытесняет объем воды, вес которой равен весу льда и камешка. Т.к. плотность камешка больше плотности воды, он сам, упав на дно, будет вытеснять меньший объем воды, и уровень понизится.

Вопрос. В стакане с водой плавает в вертикальном положении брусок. Как изменится уровень воды в стакане, если брусок перейдет в горизонтальное положение?

ОТВЕТ. Уровень воды не изменится, так как количество вытесненной воды останется тем же.

В ОПРОС. Сосуд с водой установлен на ребре доски. Нарушится ли равновесие, если на поверхность воды положить дощечку и на нее поставить груз так, что дощечка с грузом будут плавать на поверхности воды?

ОТВЕТ. Равновесие не нарушится, так как, согласно закону Паскаля давление на дно сосуда будет всюду одинаковым.

В ОПРОС. Судно проходит шлюз, поднимаясь на более высокий уровень в камере шлюза, куда вода накачивается насосами со стороны нижнего уровня. В каком случае насосы совершат большую работу: когда в камере находится большой теплоход или маленькая лодка?

ОТВЕТ. В обоих случаях работа насосов одинакова, т.к. одно и то же количество перекачиваемой воды поднимается на одну и ту же высоту

ВОПРОС. Можно ли с помощью сифона перекачивать воду через стенку высоты h = 20м?

ОТВЕТ. Движение жидкости в сифоне обеспечивается силами сцепления между элементами жидкости. Жидкость в длинном колене перевешивает жидкость в коротком колене, что и приводит к ее перекачиванию. На основании этого можно было бы предположить, что с помощью сифона можно перекачивать воду через стенку любой высоты. Однако это не так. При высоте подъема в 10 м давление внутри жидкости становится равным нулю. При этом пузырьки воздуха, всегда имеющиеся в воде, начнут расширяться, и водяной столб окажется разорванным. Как только это произойдет , сифон перестанет работать . Следовательно , через стенку высоты 20 м с помощью сифона перекачивать воду нельзя.

ВОПРОС. Надувной матрац заполнен воздухом до некоторого давления, превышающего атмосферное. В каком случае давление в матраце будет больше: когда человек станет на него или ляжет?

ОТВЕТ. В случае, когда человек станет на матрац, его вес распределится на меньшую площадь (площадь ступней), чем в случае, когда он ляжет. Поэтому состояние равновесия наступит в первом случае при большем давлении воздуха в матраце, чем во втором случае.

ВОПРОС. В бассейне плавает лодка. Как изменится уровень воды в бассейне, если из лодки в бассейн бросить камень? Что произойдет с уровнем воды в бассейне, если в днище лодки проделать отверстие и лодка начнет погружаться? Если уровень воды изменится, то в какой момент начнется изменение?

ОТВЕТ. Если камень из лодки выбросить на берег бассейна, то уровень воды в бассейне понизится. Это происходит потому, что лодка становится легче, она всплывает, и объем вытесняемой ею воды уменьшается.

Уровень воды в бассейне понизится и в том случае, когда камень выбрасывают в бассейн, хотя понижение уровня теперь будет несколько меньше. В самом деле, когда камень лежит на дне, вытесняемый им объем воды равен объему камня. Пока же он находился в лодке, лодка вытесняла дополнительный объем воды, масса которого была равна массе камня. Так как плотность камня больше плотности воды, то этот объем больше объема самого камня.

А что если из лодки в бассейн выбросить деревянный предмет, например бревно? Если бревно выбрасывается на берег, то нет никакой принципиальной разницы со случаем, когда выбрасывается камень: уровень воды в бассейне понизится. Если бревно выбрасывается вводу, то уровень воды в бассейне останется прежним, хотя лодка, конечно, несколько всплывет. Ведь бревно плавает на поверхности и , значит , вытесняет такой же объем воды , какой раньше .

К этим же выводам можно прийти и проще, если представить себе, что весь бассейн стоит на весах. Что бы мы ни выбрасывали из лодки в воду, показания весов, конечно, не изменятся. Поэтому , если выброшенные из лодки предметы плавают на поверхности , то сила давления воды на дно бассейна не должна изменится . А это возможно только тогда , когда уровень воды останется прежним .

Если же выброшенный предмет опустился на дно бассейна, то действующая на дно бассейна сила определяется не только гидростатическим давлением воды, но и действием самого камня. Так как полная сила должна остаться прежней, то давление воды на дно должно уменьшиться. Поэтому уровень воды в бассейне понизится .

Если в днище лодки сделать отверстие, то лодка начнет погружаться в воду. Будем считать, что заполнение лодки происходит медленно, так что она в каждый момент находится в равновесии. Пока лодка находится на плаву, уровень воды в бассейне не изменится. Объем погруженной части лодки увеличивается ровно на столько , сколько воды (по объему ) вошло в лодку . В некоторый момент , набрав определенное количество воды , лодка уже не сможет оставаться в равновесии на плаву . С этого момента и произойдет понижение уровня воды в бассейне .

ВОПРОС. В озере на некоторой глубине плавает полый шар, полностью погруженный в воду. Можно ли считать, что шар находится в состоянии невесомости? Будет ли ощущать невесомость человек, находящийся внутри шара? Вернется ли шар на прежнюю глубину, если его погрузить ниже и отпустить?

ОТВЕТ. На примере этой задачи хорошо видно, что выражение “ тело, погруженное в воду, уменьшает свой вес “ неточно (скорее, просто неправильно): если тело покоится, его вес всегда равен силе тяжести. Напомним, что вес это сила, действующая на опору или подвес. Опорой для плавающего тела является вода – эта опора мягче перины, но все-таки самая настоящая опора. Это справедливо, конечно, и для тел, плавающих на поверхности (с чем сразу согласятся тот, кто умеет лежать на воде). Все, что находится внутри плавающего тела, никакой невесомости ощущать не будет: представим самих себя внутри батискафа (и даже на обычном корабле) – ведь для него вес тоже “ полностью исчезает “! Поэтому гидроневесомость (состояние подводного пловца) только отчасти моделирует настоящую невесомость: органы тела пловца по-прежнему давят друг на друга под действием силы тяжести. А вот органы тела космонавта в условиях настоящей невесомости также невесомы.

Если шар более сжимаем, чем вода, его плотность увеличивается при погружении быстрее, чем плотность самой воды. Поэтому тело станет тяжелее воды и пойдет на дно. Если же, наоборот, шар менее сжимаем, то при погружении в более плотные слои воды выталкивающая сила увеличится и шар вернется на прежнюю глубину. Таким образом, полностью погруженное в жидкость тело устойчиво плавает на определенной глубине только в том случае, если оно менее сжимаемо, чем жидкость. Аналогично объясняется устойчивое плавание дирижабля или шара-зонда на определенной высоте .

ВОПРОС. Стакан с опущенной в него серебряной ложкой плавает на поверхности воды, налитой в сосуд. Уровень воды при этом равен h. Увеличится или уменьшится уровень воды в сосуде, если ложку из стакана переложить на дно сосуда?

ОТВЕТ. Когда ложку вынут из стакана, объем вытесненной стаканом воды уменьшится на величину V₁ = m/ρ_B, где m – масса ложки, ρ_B – плотность воды. Когда ложку опустят в воду, объем вытесненной воды увеличится на величину объема ложки V₂ = m/ρ_C, ρ_C – плотность серебра. Т.к. ρ_C > ρ_B, то V₂ < V₁, а значит, уровень воды уменьшится.

В опрос. Невесомая жидкость находится в покое между двумя невесомыми поршнями, связанными между собой тонким нерастяжимым стержнем. На верхний поршень действует сила F, площади поршней s и S. Чему равно давление в жидкости? Ответ: Р = F/ (S – s).

Поскольку поршни жестко связаны стержнем, то поршни и стержень можно рассматривать как одно твердое тело. На это тело действует сила F и сила давления жидкости, равная Ps (P – давление жидкости), направленная вниз, и сила давления жидкости, равная PS, направленная вверх. Т.к. жидкость и тело находятся в покое, то

F + Ps = PS.

Отсюда P = F/(S – s).

Ответ. В U-образной трубке постоянного сечения колеблется жидкость плотности ρ. Жидкость занимает участок трубки длины L. Найти давление на глубине Н в вертикальном участке правого колена в момент, когда уровень жидкости в правом колене выше, чем в левом, на величину h. (Меледин, 1.176)

Ответ: Р = ρgH(1 – h/L).

Введем сечение трубки S. В заданный момент

(ρLS)a = ρghS → a = gh/L.

Столб жидкости высоты Н приобретает ускорение а под действием силы тяжести и силы давления со стороны жидкости, подпирающей столб:

(ρHS)a = ρgHS - PS.

Отсюда Р = ρgH(1 – h/L).

Вопрос. В лифте находится ведро с водой, в котором плавает тело. Изменится ли глубина погружения тела, если лифт будет двигаться с ускорением а, направленным вверх? Вниз?

Ответ. Не изменится. Второй закон Ньютона для тела:

ma = mg + F_A,

где F_A – выталкивающая сила. Если бы объем, вытесненный телом, занимала жидкость, то на нее со стороны остальной жидкости тоже действовала та же самая сила F_A:

m_ж a = m_жg + F_A,

где m_ж = ρ_жV, V – объем погруженной части тела. Тогда

m(a – g) = ρ_жV(a – g),

отсюда следует, что V = m/ρ_ж не зависит от ускорения лифта, т.е. глубина погружения не изменится.

Вопрос. Вентилятор гонит струю воздуха через отверстие в стене. Во сколько раз надо увеличить мощность N вентилятора, чтобы перегоняемая в единицу времени масса воздуха m_t увеличилась в два раза? (Козел, 1.105)

Ответ: N₂/N = 8.

Ответ. Первоначальная мощность вентилятора

N = ½ m_tv²,

где m_t – масса воздуха, перегоняемая в единицу времени, а v – его скорость. Для того чтобы через то же отверстие перегонять в единицу времени массу воздуха в два раза большую, его скорость нужно увеличит в два раза. Поэтому мощность вентилятора

N₂ = ½ (2m_t) (2v)² = 8N.

Вопрос. Для измерения ускорения используется изогнутая по дуге окружности трубка, заполненная водой, в которой имеется пузырек воздуха. Как связано положение пузырька с ускорением трубки.

Ответ. Пузырек не будет перемещаться по трубке, если сила N, действующая на него со стороны жидкости, будет направлена по радиусу трубки, то есть перпендикулярно к касательной к трубке. Так как сила N – это архимедова выталкивающая сила, то она перпендикулярна к линиям постоянного давления. Равнодействующая Q сил N и mg (m – масса пузырька) направлена горизонтально и равна ma . Поэтому

tgα = ma / mg = a /g .

Вопрос. В трубе с сужением течет вода. В трубу пущен эластичный резиновый шарик. Как изменится его диаметр при прохождении узкой части трубы?

Ответ. Увеличится, т.к. скорость воды в узкой части трубы больше, а давление соответственно меньше, чем в широкой части трубы.

Вопрос. Из брандспойта бьет струя воды. Расход воды Q = 60 л/мин. Какова площадь поперечного сечения струи S₁ на высоте h = 2 м над концом брандспойта, если вблизи него сечение равно S_о = 1.5 см²?

Ответ. Скорость у конца брандспойта

v_o = Q/S_o.

Вылетая из брандспойта, вода движется равнозамедленно с ускорением g, поэтому на высоте h скорость воды будет

v_h = (v_o² -2gh)^1/2.

Из уравнения непрерывности струи

v_oS_o = v_hS_h,

выражающего собой тот факт, что масса жидкости, протекающей через любое поперечное сечение струи в единицу времени, одна и то же, получим

S_h = (v_o/v_h)S_o = Q/[(Q/S_o)² – 2gh]^1/2.