Решение.

Обозначим отношение V₃/V₂ = V₂/V₁ =  . На участке 1-2:

Q₁₂ = u +PV = 5/2 R (T₂ - T₁); V₁/T₁ = V₂/T_2,

откуда

T₁ =T₂/ .

Таким образом

Q₁₂ = 5/2 RT₂ ( - 1)/.

На участке 2-3:

A₂₃ = ½ (P₂ + P₃) (V₃ - V₂) = ½ (P₂V₃ - P₃V₂) =

= ½ RT₂ ( - 1/ ) = ½ RT₂ (² - 1)/ .

По условию

Q₁₂ =2A₂₃,

т.е.

5/2 RT₂ ( - 1)/  = ½ RT₂ (² - 1)/  ,

отсюда

• = V₂/V₁ = 1.5 .

3. Равные массы гелия и водорода находятся в теплоизолированном цилиндре под поршнем. Начальный объем смеси V_o = 1л, давление Р_о = 9атм. При адиабатическом расширении газ совершает работу А = 650Дж. Найти относительное изменение температуры смеси.

Ответ: T/T_o = - 6/13 A/ (P_oV_o) = -1/3.

Решение.

Так как

Q =0, то A = - u.

Гелий – одноатомный газ, и для него

u_г = _г3/2RT,

водород – двухатомный газ, и для него

u_в = _в5/2RT.

Из начальных условий имеем

P_oV_o = (_{г +} _в) RTo.

Но

_г = m/_г = m/4, а

_в = m/_в = m/2, т.е.

_в =2_г, а

_г + _в = P_oV_o/Ro_t ,

откуда находим

_г = 1/3 P_oV_o/RT_o , _в = 2/3 P_oV_o/RT_o.

Таким образом

A = - [(1/3)( 3/2) + (2/3)(5/2)](RT)( P_oV_o/RT_o) ,

откуда T/T_o = - 6/13 A/(P_oV_o) = -1/3 .

4 . КПД тепловой машины, работающей по циклу (см. рис.), состоящему из изотермы 1-2, изохоры 2-3 и адиабатического процесса 3-1, равен , а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна ΔТ. Найти работу, совершенную  молями одноатомного идеального газа в изотермическом процессе.

Ответ: A =3/2νRТ/ (1- ).

Решение.

Так как газ получает тепло от нагревателя лишь на участке 1-2,

= (A₁₂ +A₃₁)/Q₁₂.

Но

Q₁₂=A₁₂,

а на адиабате

A₃₁ = -u₃₁ =-C_vТ.

Подставляя эти выражения, получим A = А₁₂=3/2 RТ/(1-).

5. К идеальному одноатомному газу, заключенному внутри масляного пузыря, подводится тепло. Найти молярную теплоемкость этого газа, если давлением снаружи можно пренебречь. ( мфти, до1992г)

Ответ: С = 3R ~ 25Дж/(мольК).

Решение.

Воспользуемся 1-ым началом термодинамики:

С Т = С_vТ + PV.

Если радиус пузыря r , давление газа в пузыре по формуле Лапласа равно

Р = 4/r,

объем газа V = 4/3r³ , так что

V = 4r²r.

Для одноатомного газа

PV =RT т.е. (4/r)(4/3r³) = RT

или

16/3r² = RT .

Изменяя r на малую величину и пренебрегая членом с (r)² , получаем, что 32/3rr = RT ,

откуда

T = 32/3rr/R.

Подставляя это соотношение в первое начало, получаем

С = С_v + (4/r) 4r² 3R/(32r) = С_v + 3/2R = 3R ~ 25Дж/(мольК).

6. Два сосуда заполнены одним и тем же идеальным газом и сообщаются при помощи узкой трубки. Отношение объемов сосудов V₁/V₂ = 2 . Первоначально газ в первом сосуде имел температуру Т₁ = 300К. В результате перемешивания происходит выравнивание температур. Найти первоначальную температуру газа во втором сосуде, если конечная температура Т = 350К. Теплообменом газов со стенками сосудов и трубки пренебречь.

Ответ: Т₂ = 525К.