Решение.

В системе отсчета, связанной с мухами, ядро подлетает к рою под углом α, причем

cos α = v/(v² + u²)^1/2,

и поэтому проходит в рое путь, равный

d/cos α = d [1 + (u/v)²]^1/2.

Окончательно

N = ndπR²/ cos α = ndπR²/ [1 + (u/v)²]^1/2.

10. Шарик движется между двумя массивными вертикальными стенками, соударяясь с ними. Одна из стенок закреплена, другая удаляется от нее с постоянной скоростью u = 50 см/с. Считая движение шарика все время горизонтальным, а удары о стенки – абсолютно упругими, найти его окончательную скорость, если начальная скорость равна v_o = 1967 cм/с.

Ответ: v = 33 см/с

Решение.

После удара о неподвижную стенку скорость шарика меняет лишь направление. Чтобы вычислить скорость шарика после одного удара об удаляющуюся со скоростью u стенку, надо перейти в систему отсчета, в которой стенка покоится. В этой системе отсчета скорость шарика до удара равна

v_o – u.

После упругого удара проекция скорости изменит знак: станет равной

-(v_o – u).

Если затем вернуться в первоначальную (лабораторную) систему отсчета, где стенка движется со скоростью u , то здесь скорость шарика

v = v_o – 2u.

Слагаемое -2u будет добавляться после каждого удара о движущуюся стенку. Следовательно,

v = v_o – 2nu,

где n – число ударов о движущуюся стенку. Таким образом, при количестве ударов n = 20 шарика упадет до v = 33 см/с и он больше не догонит движущуюся стенку.

11. Некто, находясь в степи, видит на расстоянии S = 300 м от себя автомобиль, движущий равномерно со скоростью v₁ = 40 км/ч по горизонтальной прямой дороге. В момент времени, когда наблюдатель увидел автомобиль, машина находилась на кратчайшем расстоянии от наблюдателя. На какое максимально близкое расстояние сможет наблюдатель подбежать к автомобилю? Считать, что наблюдатель сразу же начинает бежать со скоростью v₂ = 10 км/ч, как только он увидел машину. (МАИ,1999)

Ответ: S_min = h(v₁ – v₂)^1/2/v₁.

Решение.

Р ассмотрим систему отсчета, связанную с автомобилем. Скорость наблюдателя относительно автомобиля, равная

v_отн = v₂ – v₁,

может быть направлена в любую сторону. При этом конец вектора v_отн будет находиться на окружности радиусом v₂ с центром в точке О (см. рис.). Для того чтобы наблюдатель приблизился к автомобилю как можно ближе, вектор v_отн должен быть направлен по касательной к этой окружности. Следовательно

sinα = v₂/v₁, S_min = h cosα ,

S_min = h(v₁ – v₂)^1/2/v₁.

1 2. Корабль выходит из пункта А и идет со скоростью v , составляющей угол α с линией АВ (см. рис.). Под каким углом β к линии АВ следовало бы выпустить из пункта В торпеду, чтобы она поразила корабль? Торпеду нужно выпустить в тот момент, когда корабль находился в пункте А. Скорость торпеды равна u.

Ответ: β = arcsin (vsinα/u).

Решение.

Т очка С (см. рис.) – место встречи корабля и торпеды.

АС = vt, CB = ut,

где t – время движения торпеды. Согласно теореме синусов

АС/sinβ = BC/sinα или

vt/sinβ = ut/sinα .

Отсюда

β = arcsin(vsinα/u)

1 3. Вертикальная гладкая плита движется горизонтально со скоростью u . летящий в горизонтальной плоскости со скоростью v_o шарик соударяется с плитой. Направление полета шарика составляет угол α с перпендикуляром к плите (см. рис.). Найти скорость v шарика после соударения с плитой. Плита, обладая очень большой массой, не изменяет своей скорости в результате соударения с шариком. Считать соударение абсолютно упругим. Силой тяжести пренебречь.

Ответ: v = [(v_ocosα +2u)² + (v_osinα)²]^1/2.