Решение.

Поршень будет находится в равновесии, если давление в пробирке равно

P_o + ρg(H – x).

Тогда по закону Бойля-Мариотта получаем

[P_o + ρg(H – x)]xS = P^/LS,

x² – [H + (P_o/ρg)]x + P^/L/(ρg) = 0.

Откуда x_1,2 = ½ [H + (P_o/ρg)] ± {¼[H + (P_o/ρg)]² - P^/L/(ρg)}^1/2.

О пределим какое из решений квадратного уравнения справедливо в условиях задачи. Для этого изобразим на графике закон Бойля-Мариотта для газа внутри пробирки: Рх = const (кривая 1 на рисунке). На том же графике построим зависимость

P = P_o + ρg(H – x) (прямая 2).

Условию равновесия поршня соответствуют точки пересечения кривой 1 и прямой 2 - точки a и b. Нетрудно видеть, что положение поршня в точке b является положением неустойчивого равновесия. Действительно, если объем газа случайно немного увеличится, гидростатическое давление уменьшится сильнее, чем давление газа в сосуде, и газ вытолкнет поршень. Если же объем немного уменьшится, то гидростатическое давление возрастет сильнее, чем давление газа, а поршень будет проваливаться внутрь пробирки до положения х_а. Из тех же соображений видно, что х_а – положение устойчивого равновесия. Итак

x = ½ [H + P_o/(ρg)] - { ¼[H + (P_o/ρg)]² - P^/L/(ρg)}^1/2.

Задача имеет решение, если подкоренное значение больше нуля, т.е.

¼[H + (P_o/ρg)]² - P^/L/(ρg) > 0,

откуда

H > 2 [P^/L/(ρg)]^1/2 - P_o/(ρg).

На рисунке это соответствует условию, что прямая 2 проходит правее прямой 3.

5 . Трубка радиуса r, закрытая снизу алюминиевой клиновидной пластинкой, в сечении образующей прямоугольный треугольник с катетами а и b , погружена в воду на глубину Н (см. рис.). Верхняя грань клина представляет собой квадрат со стороной а, причем ось трубки проходит через середину квадрата. Давление воды прижимает клин к трубке. До какой высоты следует налить воду в трубку, чтобы клин отделился от нее? Плотность воды равна ρ_о, плотность алюминия ρ_. Рассмотреть случай, когда алюминиевый клин заменен деревянным. До какой высоты следует налить воду в трубку, чтобы клин всплыл? (Меледин, 1.156)

Ответ: 1) x ≥ H + a² b[1 – (ρ/ρ_о)]/(2πr²) 2) x ≥ H - a² b[а/(6r) - 1)][1 – (ρ/ρ_о)]/(2πr²).

Решение.

Из геометрических соображений и из определения центра тяжести следует, что плечо выталкивающей силы относительно правого края трубки равно а/6 + r. Клин упадет на дно, повернувшись, если

(ρ - ρ_о)g a²(½ b)(а/6 + r) ≥ ρ_оgπr³(H – x),

x ≥ H + a² b[а/(6r) + 1)[1 – (ρ/ρ_о)]/(2πr²)

Чтобы клин не упал без вращения, необходимо выполнение условия для силы

ρ_оg[πr²(H – x) + ½ a²b] ≤ ρ_оg(½ a²b),

x ≥ H + a² b[1 – (ρ/ρ_о)]/(2πr²).

Сравнение двух ограничений, накладываемых на х, приводит к следующему результату:

x ≥ H + a² b[1 – (ρ/ρ_о)]/(2πr²).

2) Плечо выталкивающей силы относительно правого края трубки равно а/6 – r. Клин перевернется и всплывет, если

(ρ - ρ_о)g a²( ½ b)(а/6 - r) ≥ ρ_оgπr³(H – x),

x ≥ H - a² b[а/(6r) - 1)[1 – (ρ/ρ_о)]/(2πr²).

6 . На дне сосуда, наполненного жидкостью, плотность которой равна ρ, стоит Г-образное тело (см. рис). Жидкость под нижнюю грань тела не подтекает. Плотность тела равна 2ρ. При какой высоте уровня жидкости в сосуде равновесие тела нарушится? (Меледин, 1.148)

Ответ: h = 5L.