Решение

Постоянный ток через конденсатор не течет. Поэтому полный ток по цепи будет равен

J = U_o/[R₃(R₁+R₂)/(R₁+R₂+R₃) + R₄] = 3U_o/5R.

Токи через резисторы R₁, R₂ и R₃ связаны соотношениями

J₁₂(R₁ + R₂) = J₃R₃, или 2 J₁₂= J₃, и

J₁₂ + J₃ = J.

Отсюда J₁₂ = J/3 и напряжение на конденсаторе (потенциал правой пластины, поскольку левая заземлена)

U_c = U_o – J₁₂R = 4U_o/5,

а его заряд

q = 4CU_o/5.

2 5. Определить силу тока, текущего через идеальный диод D в цепи, изображенной на рисунке. U = 100 B, R = кОм. (Баканина, 3.109)

Ответ: J_D = 4 мА.

Решение

Если предположить, что диод заперт, то получим потенциал левого контакта диода

U₁ = 3RU/(R + 3R) = 75 B,

а правого –

U₂ = 4RU/(2R + 4R) = 66.6 B.

Но при такой полярности напряжения на диоде он будет открыт и его сопротивление будет равно нулю.

Произведем расчет цепи при открытом диоде. Поскольку диод идеальный, то его сопротивление равно нулю, а, следовательно, и разность потенциалов между точками А и В равна нулю. Тогда полное сопротивление цепи

R_o = 2R/3 + 12R/7 = 50R/21.

Общий ток в цепи

J = 21U/(50R).

Из схемы следует

2J₁ = J₂ , 3J₃ = 4J₄ , J₁ + J₂ = J₃ + J₄ = J.

Отсюда

J₁ = 7U/(50R), J₂ = 14U/(50R), J₃ = 12U/(50R), J₄ = 9U/(50R),

Но J₄ = J₁ + J_D, →

J_D = U/(25R) = 4мА.

7.2. Мощность тока.

1. При каком сопротивлении внешней цепи в ней выделяется максимальная мощность? Внутреннее сопротивление батареи равно r. Построить качественный график зависимости КПД батареи от величины внешней нагрузки.

Решение.

Н а внешней нагрузке выделяется мощность

N = I²R,

где I = ε/(R+r) – ток в цепи. Тогда

N = ε² R/(R+r)².

Откуда видно, что мощность будет максимальна при

R = r, N_max = ε² /4r.

При (R/r) <<1 ,

N≈ (ε² /r)(R/r) ~ R,

а при (R/r) >> 1:

N ≈ ε² /R ~ 1/R.

К оэффициент полезного действия батареи естественным образом определяется как отношение мощности, выделяемой на внешней нагрузке, к мощности, развиваемой батареей:

η = N/N_бат = (I²R)/(Iε) = {ε² R/(R+r)²}{(R+r)²/ ε²} = R/(R+r) .

При (R/r) <<1: η ≈ R/r, а при (R/r) >> 1: η → 1.

Следовательно, график имеет примерно такой вид, как приведенный на рисунке. Отметим, что максимальное КПД и максимальная мощность, выделяемая на внешней нагрузке, не могут быть достигнуты одновременно.

Приведенный пример демонстрирует ошибочность весьма распространенного представления о том, что электрическую энергию якобы всегда легко (т.е. с КПД ~1) превращать в другие виды энергии. В нашем случае такой КПД достигается лишь при очень больших R , т.е. при малых токах. Тогда, действительно, почти вся энергия, вырабатываемая генератором, передается потребителю, но генератор вырабатывает при этом ничтожную мощность. Промышленные генераторы эксплуатировать в таком режиме невыгодно.

2. В линии электропередачи, работающей при напряжении U, доля тепловых потерь от всей передаваемой энергии составляет величину η. При каком напряжении следует эксплуатировать эту линию, чтобы тепловые потери уменьшились в n раз при той же передаваемой мощности?

Ответ: U₁ = n^1/2 U.