4.1. Гидростатика.

1. Резиновый детский мячик плавает на поверхности воды, когда погружена 1/8 часть его объема. Другой мяч, вдвое большего радиуса, погружается на 1/10 своего объема. Во сколько раз толщина стенки второго мяча больше, чем первого?

Ответ: h₂/h₁ = 4/5(R₂/R₁) = 1.6 .

Решение.

Масса мяча практически равна массе стенки (массой воздуха внутри мяча можно пренебречь). Толщина стенки много меньше радиуса мяча, поэтому приближенно можно считать, что объем стенки равен 4πR²h. Тогда масса мяча равна М = ρ4πR²h , а условия плавания запишутся для мячей в виде:

1/8 4/3 πR₁³ ρ_вg = ρ4πR₁² h₁ g ,

1/10 4/3 πR₂³ ρ_вg = ρ4πR₂² h₂ g .

Деля эти уравнения друг на друга, находим h₂/h₁ = 4/5(R₂/R₁) = 1.6

2. Тонкостенный стакан массы М = 50 г ставят вверх дном и медленно опускают его вглубь так, что он все время остается вертикальным. На какую минимальную глубину надо опустить стакан, чтобы он утонул? Высота стакана Н = 10 см, площадь дна S = 20 см². давление водяного пара в стакане не учитывать. Атмосферное давление равно Р_о = 100 кПа. (Козел, 2.121)

Ответ: h = P_o[(ρV_o/M) –1]/(ρg).

Решение.

Стакан утонет, если масса воды в объеме, занимаемом воздухом на глубине h, будет равна массе стакана или меньше нее. Объем воздуха на глубине h определяется законом Бойля-Мариотта:

V = V_oP_o/ (P_o + ρgh),

где V_o = SH.На критической глубине

ρV_oP_o/ (P_o + ρgh) = M,

откуда

h = P_o[(ρV_o/M) –1]/ (ρg).

3 . На рисунке изображена конструкция максимального термометра (т.е. термометра, ‘запоминающего’ температуру, до которой он нагревался в процессе опыта). Длинная U- образная трубка, запаянная с одного конца, заполнена при температуре Т_о = 273 К ртутью. В правом колене над ртутью находится воздух, высота столба которого h = 24 см. при нагревании прибора воздух, расширяясь, вытесняет часть ртути. После охлаждения до первоначальной температуры Т_о уровень ртути в левом открытом колене понизился на величину Н = 6 см. Определить температуру, до которой нагревался прибор. Атмосферное давление Р_о = 100 кПа. (Козел, 2.117)

Ответ: T = ≈ 378 К.

Решение.

Рассмотрим три состояния воздуха в трубке.

1. Начальное состояние

P₁ = P_o + ρgh ; V₁ =; T₁ = T_o,

где S – сечение трубки.

2. Воздух нагрет до некоторой температуры Т:

P₂ = P_o + ρgh₁ ; V₁ = h₁S; T₂ = T,

где h₁ – высота воздушного столба при температуре Т, часть ртути вылилась из левого открытого колена.

3. Воздух снова охлажден до первоначальной температуры Т_о:

P₃ = P_o + ρg(h₂ – Н) ; V₃ = h₂S; T₃ = T_o.

Высота воздушного столба h₂ = h₁ – H, так как ртуть из трубки при переходе из второго состояния в третье больше не выливалась.

В первом и третьем случаях температура воздуха одинакова. Поэтому можно воспользоваться законом Бойля-Мариотта

(P_o + ρgh) hS = [P_o + ρg(h₂ – Н)] h₂S.

Величина Р_о/ρg имеет смысл высоты ртутного столба, соответствующей атмосферному давлению, мы будем обозначать ее через Н_о (Н_о = 76 см). Имеем h₂² + (H_o – H)h₂ - (H_o + h)h = 0.

Подставляя численные значения, найдем

h₂² + 70h₂ - 2400 = 0, h₂ ≈ -35 ± 60 см.

Физический смысл имеет лишь положительное значение h₂ . Таким образом, h₂ ≈ 25 см и, следовательно, h₁ = h₂ + H = 31 см. Применяя теперь объединенный газовый закон к первому и второму состояниям, получим

h₁(H_o + h₁)/T = h (H_o + h)/T_o ,

откуда

T = T_o h₁(H_o + h₁)/ [ h(H_o + h)] ≈ 1.38 T_o ≈ 378 К.

4. Пробирку длины L заполнили водородом при давлении Р^/, и закрыли легким подвижным поршнем и погрузили в сосуд с ртутью на глубину Н (см. рис.). Какая часть длины пробирки будет при этом заполнена водородом? При каких значениях Н задача имеет решение? Плотность ртути равна ρ, атмосферное давление равно Р_о. Температура водорода поддерживается неизменной. (Козел, 2.111)

Ответ: T ≈ 378 К.