Решение.

Согласно классической теории электропроводность металлов обусловлена наличием в них свободных электронов, которые под действием постоянного электрического поля дрейфуют с постоянной скоростью в направлении противоположном направлению этого поля. Сила тока, текущего по проводнику при этом равна

I = Senv,

где S – площадь поперечного сечения проводника, е – модуль заряда электрона, v – скорость дрейфа, n – концентрация свободных электронов. При параллельном подключении проволок сила тока в каждой из них равна (считая внутренне сопротивление аккумулятора равным нулю)

I₁ = ε/R₁ , I₂ = ε/R₂ ,

где ε – ЭДС аккумулятора, а R_i – сопротивление i-й проволоки, причем

R₁ = ρL₁/S₁, R₂ = ρL₂/S₂

где ρ – удельное сопротивление материала проволоки. Тогда

I₁/S₁ = I₂/S₂ = env = ε/(ρL₁) = ε/(ρL₂) 

L₁ = L₂ = L,

где v – скорость дрейфа электронов при параллельном подключении.

env = ε/(ρL)

При последовательном подключении проволок к аккумулятору сила тока в проволоках одинакова и равна

I_посл = ε/(R₁ + R₂) = S₁env₁/k,

т.к. по условию задачи скорость дрейфа v_1,посл в первой проволоке во втором случае в k раз меньше, чем в первом случае. С другой стороны, при последовательном соединении

I = ε/(R₁ + R₂) = ε/[ ρL (1/S₁ + 1/S₂)] = S₁en(v/k) .

С учетом env = ε/(ρL) получим

I = ε/[ ρL (1/S₁ + 1/S₂)] = (S₁/k) [ε/(ρL)].

Отсюда 1 + (S₁/S₂) = k или (d₁/d₂)² = k -1,

а искомое отношение диаметров проволок равно

x = d₁/d₂ = (k –1)^1/2 = 2.

7. В конце зарядки аккумулятора сила тока I₁ = 3.1 A, а напряжение на клеммах U₁ = 8.85 В. В начале разрядки того же аккумулятора сила тока I₂ = 4.0 A, а напряжение на клеммах U₂ = 8.5 В. Определить ЭДС ε и внутреннее сопротивление r аккумулятора. (1001, 13.51^*)

Ответ: r = 0.05 Ом; ε = 8.7 В.

Решение.

В конце зарядки и начале разрядки ε и r можно считать одинаковыми. Когда ток в цепи равен нулю, напряжение на аккумуляторе совпадает с его ЭДС. При разрядке (см. рис. а) напряжение меньше ЭДС:

U₂ = ε – I₂r.

П ри зарядке (см. рис. б) заряды движутся против сторонних сил в аккумуляторе. Это возможно лишь при напряжении, превышающем ε:

U₁ = ε + I₁r.

Решая эту систему уравнений, получаем

r = (U₁ - U₂)/(I₁ + I₂) = 0.05 Ом;

ε = (I₂U₁ +I₁ U₂)/(I₁ + I₂) = 8.7 В.

8 . Четыре одинаковых амперметра и резистор включены так, как показано на рисунке. Амперметр А₁ показывает ток I₁ = 2 А, Амперметр А₂ - I₂ = 3 А. Какие токи протекают через амперметры А₃, А₄ и резистор? Найти отношение r/R внутреннего сопротивления r амперметра к сопротивлению резистора.

Ответ: I₃ = 1 A, I₄ = 4 A, r/R = 1/5.

Решение.

З апишем второе правило Кирхгофа для контуров bac и cad (обход контуров показан на рисунке), а также первое правило для узлов с и а.

I₂r – I₁r– I₃r = 0,

I₃r + I₄r– IR = 0,

I₁ - I₃ - I = 0,

I₃ + I₂ – I₄ = 0.

Решая эти уравнения, получим

I₃ = I₂ – I₁ = 1 А.

I = I₁ – I₃ = 1 А.

I₄ = I₂ + I₂ = 4 А.

r/R = I/( I₃ + I₄) = 1/5/

9. Найти показания амперметра в схеме, изображенной на рисунке при следующих значениях сопротивлений: R₁ = 1 кОм, R₂ = 2 кОм, R₃ = 3 кОм, R₄ = 4 кОм, R₅ = 5 кОм, R₆ = 6 кОм. Внутреннее сопротивление амперметра существенно меньше любого из сопротивлений схемы. Напряжение на входе схемы постоянно и равно U =10.5 В.

Ответ: I = 0.5 мА.