Решение.

За время Δt на шарик упадет n(SvΔt) пылинок, где n – концентрация пыли в воздухе, S = πR² – площадь поперечного сечения шарика, R – его радиус, v – скорость шарика. Тогда масса упавшей пыли

Δm = μn(SvΔt),

где μ – масса одной пылинки. Соответствующее изменение импульса

Δp = Δmv = μnSv²Δt.

Согласно второму закону Ньютона

FΔt = Δp .

Со стороны пыли на шарик действует сила сопротивления F_c , равная по модулю силе F, действующей на пыль со стороны шарика

F_c = μnSv².

При движении шарика с постоянной скоростью

F_c = Mg

или

μnSv² = ρg4πR³/3.

Отсюда для соотношения скоростей двух шариков получим

v₁/v₂ = [(R₁ρ₁)/(R₂ρ₂)]^1/2.

При ρ₁ = ρ₂ и R₁/R₂ = 2 получим v₁/v₂ = √2.

3.2. Работа, мощность.

1. Двигатель подводной лодки развивает мощность Р. При этом ее скорость равна u. Определить, на каком расстоянии S от точки выключения двигателя остановится лодка, если сила сопротивления движению лодки пропорциональна ее скорости. Масса лодки равна М. Глубина погружения лодки не меняется на протяжении всего пути. (Обл. Олимп.,2000,11.1, ВОШФ-4)

Ответ: S = mu³/P.

Решение.

Перед выключением двигателя справедливы соотношения

F = ku,

P = Fu = ku², → k = P/u².

После выключения двигателя согласно второму закону Ньютона

m (dv/dt) = -kv,

или с учетом того, что vdt = ds

получим:

mdv = -kds.

Перейдем к конечным приращениям:

mΔv = -kΔS.

Максимальному пути ΔS = S соответствует Δv = -u.

Окончательно находим: S = mu/k = mu³/P.

2. Автомобиль массы m = 600 кг трогается с места. Двигатель автомобиля работает с постоянной мощностью N = 50 кВт, коэффициент трения скольжения колес о дорогу μ = 0.6. Оценить, за какое минимальное время автомобиль наберет скорость v = 100 км/час. Сопротивлением воздуха и трением в механизмах пренебречь. (Слободецкий, № 40)

Ответ: t ≈ 6.5 c.

Решение.

Пренебрежем трением качения и сопротивлением воздуха. Вначале максимальное ускорение, с которым может двигаться автомобиль, определяется максимальным значением силы трения колес о дорогу:

a = F_тр/m = μg.

При этом автомобиль движется с мощностью меньшей максимальной (чтобы не было проскальзывания), а его скорость пропорциональна времени

v = at = μgt.

В момент времени t = t₁ скорость станет равной

v₁ = μgt₁ ,

а мощность двигателя достигнет величины N , причем

N = F_трv₁ = μmg μgt₁ = μ²g² mt₁.

Отсюда

t₁ = N/μ²g² m ≈ 2.8 c,

а

v₁ = μgt₁ ≈ 16.8 м/с.

Начиная с этого момента сила трения становится меньше максимальной, и изменение кинетической энергии автомобиля равно N(t – t₁).

Отсюда

t = t₁ + ½ m (v² – v₁²)/N ≈ 6.5 c.

3 . В лунке кубической формы, заполненной до краев водой, находится металлическая отливка в форме параллелепипеда, высота которого равна высоте лунки, а площадь основания в два раза меньше площади дна лунки. Чтобы вытащить отливку из лунки, заполненной водой, поднимая ее вертикально вверх, нужно совершить работу А₁ не менее 19.6 Дж, а чтобы вытащить ее из воды, поднимая вверх, нужно совершить работу A₂ не меньше 8.8 Дж. Чему равна плотность материала отливки и глубина лунки?

Ответ: ρ = 2.7 г/ см³, h = 0.2 м.