Решение.

Ф ронт ударной волны представляет собой огибающую сферических волн, испущенных самолетом в каждый из предшествующих моментов времени. При v > c самолет обгоняет испущенный им звук, так что фронт ударной волны может охватывать лишь область позади самолета.

Докажем, что фронт ударной волны представляет собой коническую поверхность. Пусть самолет находится в данный момент в точке А. Рассмотрим звуковую волну, испущенную самолетом в точке В (см. рис.). Эта волна имеет к данному моменту “возраст” Δt = AB/v. Значит, ее волновая поверхность – сфера радиуса R = cΔt = ABc/v. Построим конус с вершиной в точке А, касающийся этой сферы. Угол α между образующей конуса и его осью (направлением полета самолета) находим из соотношения sin α = R/AB = c/v. Оказывается, этот угол не зависит от отрезка АВ. Значит, этот конус касается всех волновых поверхностей, ранее испущенных звуковых волн, т.е. является для них огибающей поверхностью. Это – так называемый звуковой конус.

Н аблюдатель в точке А услышит звук, когда этой точки достигнет поверхность звукового конуса, который самолет “тащит” за собой. К этому моменту самолет окажется в точке В (см. рис.). Очевидно,

h = CBtgα = vt tgα,

где

sinα = DA/DB = c/v.

Отсюда

h = ct/ [(1 – (ct)²]^1/2 = 10 км.

Обратить внимание, что дошедший до наблюдателя звук самолета “родился” не в точке С, а в точке D.

4 . Идет град и автомобиль едет со скоростью u = 29 км/ч по горизонтальной дороге. Одна из градин ударяется о стекло заднего окна автомобиля, наклоненное под углом α = 30^о к горизонту, и отскакивает горизонтально в направлении противоположном движению автомобиля (см. рис.). Считая, что удар градины о стекло абсолютно упругий и что ее скорость непосредственно перед ударом вертикальна, найти скорость градины: 1) до удара, 2) после удара. (МФТИ-2001)

Ответ: V₁ = 52.2км/ч, V₂ = 29 км/ч

Решение.

П ерейдем в систему отсчета связанную с движущимся автомобилем, тогда скорости градины до удара v₁ и после удара v₂ в этой системе будут связаны с соответствующими скоростями в неподвижной системе отсчета V₁ и V₂ соотношениями

v₁ = V₁ – u,

v₂ = V₂ – u.

Выберем систему координат, связанную с наклонной плоскостью (см. рис). Поскольку удар градины можно считать абсолютно упругим, то

v_1,x = v_2,x , v_1,y = -v_2,y .

Или

V₁sinα + ucosα = V₂cosα + ucosα,

-V₁cosα + usinα = -V₂sinα – usinα.

Отсюда

V₂ = V₁tgα,

-V₁cosα + V₂sinα = - 2usinα.

Окончательно

V₁ = u tg2α = 50.2 км/ч,

V₂ = u tgα tg2α = 29 км/ч.

5. Человек бежит по эскалатору. В первый раз он насчитал n₁ = 50 ступенек, во второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое большей, он насчитал n₂ = 75 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?

Ответ: n = 100.

Решение

Пусть

v – скорость эскалатора,

s – его длина и

n – число ступенек на эскалаторе.

Если скорость человека направлена противоположно направлению движения эскалатора, то он насчитает тем меньше ступенек, чем быстрее идет. Поэтому в нашем случае направления движения и эскалатора совпадают.

Число ступенек, приходящихся на единицу длины эскалатора, равно n/s. Поэтому, если человек идет со скоростью u относительно эскалатора, то время его пребывания на эскалаторе

t = s/ (v + u),

путь, пройденный по эскалатору

S = us/ (v + u).

При этом в первом случае человек насчитывает число ступенек

n₁ = [us/ (v + u)] (n/s).

Аналогично, во втором случае он насчитывает

n₂ = [3us/ (v + 3u)] (n/s).

Таким образом, мы получаем систему уравнений

n₁ = nu/ (v + u) , n₂ = 3nu/ (v + 3u)

или

1 + (v/u) = n/n₁ , 1 + 1/3(v/u) = n₂/n.

Отсюда, исключая (v/u), найдем n = 2n₁ n₂/(3n₁ – n₂) = 100.

6. По гладкой горизонтальной поверхности стола скользят вдоль одной прямой навстречу друг другу массивный брусок со скоростью u = 1 м/с и небольшой шарик со скоростью v = 2 м/с. В некоторый момент времени шарик оказался в точке А на расстоянии S = 1.5 м от бруска. Через какое время, считая от этого момента, шарик снова окажется в точке А? Столкновение шарика с бруском упругое. Скорость шарика перпендикулярна грани бруска, о которую он ударяется. Масса шарика намного меньше массы бруска. (МФТИ,1994)

Ответ: t = 2S/(v + 2u).