Решение.

Объем и температура всех лазерных трубок предполагаются одинаковыми. Тогда отношение давлений гелия и ксенона равно отношению их молярных концентраций, как следует из уравнения состояния:

Р_Не/Р_Хе = ν_Не/ν_Хе = 9/1; Р_Не + Р_Хе = 10 торр,

т.е.

Р_Не = 9 торр, Р_Хе =1 торр.

Пусть V - общий объем заполняемых лазерных трубок, а N – необходимое число баллонов гелия. По закону Бойля-Мариотта:

P₁ V₁ = P_Хе (V₁ + V + NV₂) – для ксенона;

P₂ NV₂ = P_He (V₁ + V + NV₂) – для гелия,

т.к. и гелий, и ксенон равномерно заполняют всю систему. Поделив уравнения, получаем:

N = (P_He/ Р_Хе) P₁V₁/ P₂V₂ =27.

1 6. В цилиндре с площадью сечения S = 5см² под поршнем массы М = 1кг находится некоторый газ. При увеличении абсолютной температуры газа в n = 1.5 раза поршень поднимается вверх и упирается в уступы. При этом объем газа по сравнению с первоначальным увеличивается в k = 1.2 раза. Определить силу, с которой поршень давит на уступы. Атмосферное давление Р_о = 100кПа.

Ответ: F = 15H.

Решение.

Сила давления поршня на уступы находится из условия равновесия поршня

P₂S = F + Mg + P_oS.

Связь начального давления газа с конечным находится из объединенного газового закона

P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂ .

Отсюда

P₂ = P₁(T₂/T₁)(V₁/V₂) = P₁n/k,

где k = V₂/V₁ = 1.2. Начальное давление поршня найдем из условия равновесия поршня

P₁S = Mg + P_oS.

Решая эти уравнения, получим для силы давления на уступы

F = [(n/k) –1](Mg + P_oS) = 15 H.

17. В запаянной с одного конца стеклянной трубке длиной l = 0.9м находится столбик воздуха, ограниченный сверху столбиком ртути высотой h = 30см. Ртуть доходит до верхнего края трубки. Трубку осторожно поворачивают открытым концом вниз, при этом часть ртути выливается. Какова высота оставшегося столбика ртути. Атмосферное давление Р_о = 100кПа.

Ответ: х = 2.9см.

Решение.

Условия равновесия ртути в первом и во втором случаях запишутся в виде

P₁S = P_oS + m_og, (1)

P_oS = P₂S + m_fg, (2)

где P₁ и P₂ - давления воздуха в трубке в первом и во втором случаях; P_o – атмосферное давление, m_o m_f – первоначальная и конечная массы ртути.

m_o = ρgh, m_f = ρgx, (3)

где х – высота, оставшегося столбика ртути.

Поскольку масса воздуха в трубке не изменилась, а процесс будем считать изотермическим, то

P₁V₁ = P₂V₂ → P₁(L – h) = P₂(L – x). (4)

Подставляя равенства (1), (2) и (3) в (4), получим

x² – xL[1 + P_o/(ρgL)] + hL[P_o/(ρgL) + h/L –1] = 0. (5)

Решениями этого квадратного уравнения являются значения х

x_1,2 = ½ L[1 + P_o/(ρgL)]{1 ± [1 – 4h[P_o/(ρgL) + h/L –1]/[L(1 + P_o/(ρgL ))²]]^1/2}. (6)

x₁ = 1.6 м, x₂ = 0.029 м.

Первый корень не удовлетворяет условию x < h, поэтому x = 2.9 см.

1 8. В неподвижном цилиндрическом сосуде с площадью внутреннего сечения S расположен поршень массой М (см. рис.). В сосуде под поршнем находится некоторое количество воздуха. Поршень удерживается на высоте h_o от дна сосуда нитью, натяжение которой равно Т. После пережигания нити поршень движется без трения. На каком расстоянии от дна поршень будет иметь наибольшую скорость? Внешнее атмосферное давление равно Р_о. Температура газа под поршнем поддерживается неизменной.

Ответ: x_m = h_o [P_oS + (Mg – T)]/(P_oS + Mg).