3.3. Сохранение энергии, импульса.

1. В лежащий на горизонтальной плоскости кубик массой кг попадает летевшая со скоростью 200 м/с пуля массой 20 г. Скорость пули была направлена вдоль горизонтальной прямой, проходящей через центр кубика, перпендикулярно одной из его боковых граней. Сколько тепла выделилось бы, если пуля вылетела из кубика со скоростью в раза меньшей , а изменением собственной потенциальной энергии кубика и пули можно было бы пренебречь?

МГУ, физ. фак. ,2000

Ответ: Дж

Решение

Поскольку на систему кубик-пуля в горизонтальной плоскости не действуют внешние силы, то закон сохранения импульса будет выполняться для любого направления, лежащего в этой плоскости. Условия задачи позволяют рассматривать взаимодействие кубика и пули как центральное неупругое соударение . Закон сохранения импульса , в этом случае , в проекции на исходное направление полета пули запишется в виде

m v = m w + M u,

где u , w = v / n – скорости кубика и пули после соударения. Отсюда

u= (m / M) (1 – 1 / n).

Закон сохранения энергии для неупругого соударения запишется в виде

mv² / 2 = mw² / 2 + M u² / 2 + Q,

где Q – теплота, выделившаяся при соударении. Отсюда

Q = ( m v² / 2 ) { 1 – 1 / n² – ( 1 – 1 / n ) ² } = 298 Дж .

2. С высоты h = 73.5 м сбрасывают два одинаковых по массе камня, связанных веревкой, длина которой L = 39.2 м. Первый камень начинает падать на t_o = 2 с раньше второго. Через какое время после начала падения камни упадут на землю? Падение происходит без начальной скорости. Рассмотреть два случая: 1) веревка абсолютно упругая; 2) веревка абсолютно неупругая.

Ответ: 1) τ₁ = 4.6 с, τ₂ = 2.8 с; 2) τ₁ = 4.2 с, τ₂ = 4.3 с.

Решение.

До момента, когда веревка натянется, камни падают свободно:

S₁ = ½ gt² , S₂ = ½ g(t – t_o)².

Момент натяжения веревки определяется из условия

L = S₁ – S₂. Отсюда t = 3 c, S₁ = 44.1 м , S₂ = 4.9 м. Время отсчитывается с момента падения первого камня. При натяжении веревки происходит абсолютно упругий удар, и камни обмениваются скоростями. В момент удара

v₁ = gt = 29.4 м/c,

v₂ = g (t – t_o) = 9.8 м/с.

Время t₁ (после того как веревка натянется) находится из условия

h – S₁ = v₂t₁ + ½ gt₁².

Время t₂ падения второго камня – из условия

h – S₂ = v₁t₂ + ½ gt₂².

Отсюда t₁ ~ 1.6 c, t₂ ~ 1.8 c. Первый камень падает 4.6 с, второй 2.8 с.

В случае неупругой веревки скорости камней после ее натяжения выравниваются (неупругий удар):

v = ½ (v₁ + v₂) = 19.6 м/с.

Время падения камней после того, как веревка натянется, определяется уравнениями

h – S₁ = vt₁^/ + ½ gt₁^{/ 2} ,

h – S₂ = vt₂^/ + ½ gt₂^{/ 2} .

Пути S₁ и S₂ те же, что и в первом случае. Отсюда t₁^/ ~ 1.2 c , t₂^/ ~ 3.3 c. Первый камень падает 4.2 с, второй 4.3 с.

3. Гантелька длины L стоит в углу, образованном гладкими плоскостями (см. рис.). Нижний шарик гантельки смещают горизонтально на очень маленькое расстояние, и гантелька начинает двигаться. Найти скорость нижнего шарика в тот момент, когда верхний шарик оторвется от вертикальной плоскости. (Слободецкий,№ 22)

Ответ: u_max = (2/3)[(2/3)gL]^1/2.

Решение.

Пусть в момент отрыва верхнего шарика от вертикальной стенки гантелька составляет угол α c вертикалью, скорость верхнего шарика равна v нижнего u. Согласно закону сохранения энергии

½ mv² + ½ mu² = mgΔh = mgL(1 – cosα),

где m – масса каждого шарика и Δh = L(1 – cosα). Отсюда

v² + u² = 2L (1 – cosα).

Поскольку стержень жесткий, проекции v и u на направление стержня равны:

vcosα = usinα.

Тогда

u² = 2gL (cos²α – cos³α) = 2gL(x² – x³),

где x = cosα.

До момента отрыва центр масс гантельки имел горизонтальную составляющую ускорения (это ускорение сообщалось силой реакции вертикальной стенки). Поэтому к моменту отрыва верхнего шарика от вертикальной стенки скорость u максимальна. Найдем значение cosα , при котором выражение y = x² – x³ максимально. Так как y^/ = 2x – 3x² при х = 2/3, то u² максимально при cosα = 2/3 и равно

u_max = (2/3) [(2/3)gL]^1/2.

4 . По гладкой горизонтальной поверхности стола равномерно со скоростью v скользит доска массы m₁ вместе с расположенной на ней небольшой шайбой массы m₂ (см. рис.). После абсолютно упругого столкновения доски с вертикальной неподвижной стеной шайба перемещается по доске на расстояние L и останавливается. Определить коэффициент трения скольжения μ между шайбой и доской. Смещением шайбы за время столкновения со стеной пренебречь.

Ответ: μ = 2m₁v²/[Lg(m₁ + m₂)].