Решение.

С читаем, что заряды на конденсаторах С₁ и С₂ расположены так, как указано на рисунке, а абсолютные их значения равны. Из уравнений

q/C₁ + q/C₂ = ε₂ - ε₁,

φ_b – φ₁ = ε₁ ,

φ₁ – φ_a = q/C₁

находим

q = C₁C₂( ε₂ - ε₁ )/( C₁+C₂),

φ_b – φ_a = φ_b – φ₁ + φ₁ – φ_a = ε₁ + C₂( ε₂ - ε₁)/( C₁+C₂).

Откуда после несложных преобразований получаем ответ

φ_b - φ_a = (ε₁C₁ + ε₂C₂)/(C₁ +C₂) .

5 . Две пластины конденсатора, соединенные проводником, находятся на расстоянии d друг от друга во внешнем электрическом поле напряженностью Е₀ (см. рис.). Какую работу надо совершить, чтобы сблизить пластины до расстояния 0.5d? Расстояние между пластинами много больше ее размеров. Площадь пластин равна S.

Ответ: А = ¼ ε₀E₀²dS .

Решение.

На пластинах конденсатора появятся электрические заряды противоположные по знаку. Абсолютная величина этих зарядов находится из условия, что потенциалы пластин одинаковые, и напряженность поля внутри конденсатора, следовательно, равна нулю. Напряженность поля, создаваемого зарядами на обкладках, равна по величине и противоположна по направлению внешнему полю Е₀:

Е₀ = Е_конд = Q/(ε₀S).

Величина заряда, как видно, не зависит от расстояния между обкладками и при перемещении меняться не будет. На заряд правой обкладки действует электрическое поле Е, создаваемое внешним полем Е₀ и полем другой обкладки, равным

-Q/(2ε₀S) = ½ Е₀ .

Следовательно

Е = Е₀ - ½ Е₀ = ½ Е₀.

Работа А по перемещению правой обкладки на расстояние ½d равна:

А = (½ QE₀)(½ d) = ¼ ε₀E₀²dS.

6. Между пластинами плоского конденсатора, обкладки которого замкнуты накоротко, помещена равномерно заряженная плоскость. Расстояние между обкладками d. Заряд плоскости q. Первоначально заряженная плоскость находится на расстоянии 1/3d от левой обкладки. Какой заряд пройдет по проводнику, соединяющему обкладки, при перемещении заряженной плоскости в новое положение на расстоянии 1/3d от правой пластины?

Ответ: Δq = 1/3 q.

Решение.

П од действием заряда q на пластинах конденсатора наведутся заряды противоположных знаков q₁ и -q₁ , которые создадут вместе с зарядом q внутри конденсатора поля напряженностью Е₁ и Е₂ (см. рис.), причем

E₁= q/(2ε₀S) – q₁/(2ε₀S) – q₁/(2ε₀S) = (q – 2q₁)/( 2ε₀S),

E₂= q/(2ε₀S) + q₁/(2ε₀S) + q₁/(2ε₀S) = (q + 2q₁)/( 2ε₀S),

Учитывая, что пластины закорочены и потенциалы их одинаковы, имеем:

φ₁ =φ₂ → E₂ (1/3 d) = E₁(2/3d),

что позволяет найти заряд q₁:

(q – 2q₁)(1/3d) = (q + 2q₁)(2/3d) → q₁ = 1/6 q.

При перемещении заряженной плоскости заряд левой пластины станет положительным и равным 1/6q.

Т.е. по цепи протечет заряд Δq = 2/6 q = 1/3q .

7.К плоскому конденсатору, расстояние между пластинами которого d₁, присоединена батарея с ЭДС, равной U. В конденсатор вводят диэлектрик, заполняющий все пространство между пластинами. Определить диэлектрическую проницаемость диэлектрика, если плотность заряда на пластинах конденсатора изменилась на величину Δσ. (МФТИ, 1973)

Ответ: ε = 1 + (Δσd)/(ε₀U).