Решение.

По определению КПД тепловой машины

η = А_П/Q_H,

где А_П – полная работа газа за цикл (площадь цикла в координатах P,V), а Q_H – тепло, получаемое рабочим газом извне (от нагревателя). Согласно первому началу термодинамики работа на адиабате 1-2

А₁₂ = - Δu₁₂ = - νC_v(T₂ – T₁) = νC_v(T₁ – T₂).

Работа на изотерме по условию А₂₃ = -А, работа на изохоре А₃₁ = 0. Таким образом, полная работа газа за цикл равна

А_П = А₁₂ + А₂₃ + А₃₁ = νC_v(T₁ – T₂) – А.

На участке 1-2 Q₁₂ = 0 (адиабата), на участке 2-3 Q₂₃ = A₂₃ (изотерма, т.е. Δu =0), газ отдавал тепло, а не получал. Единственный участок цикла, где газ получал тепло – изохора. При этом

Q₃₁ = Q_П = νC_v(T₁ – T₃) = νC_v(T₁ – T₃) = νC_vΔT,

т.к. Т₁ и Т₂ и есть максимальная и минимальная температуры в цикле. Итак,

η = ( νC_vΔT – А)/ νC_vΔT = 1 – 2А/ (3νRΔT) ,

т.к. С_v = 3/2R (газ одноатомный).

1 1. Над идеальным газом постоянной массы проводится циклический процесс, состоящий из двух изобар и двух изохор, как показано на рисунке. Заданы значения давлений Р₁ и Р₂ и температуры Т₂. При каком соотношении температур Т₂ и Т₄ полная работа за цикл больше: в случае Т₄ > Т₂ или Т₄ < Т₂ ?(МГУ,1999)

Ответ: при Т₄ > Т₂ .

Решение.

Работа за цикл равна

A = (P₂ – P₁) (V₄ – V₁).

Из уравнения Клапейрона-Менделеева:

V₁ = V₂ = ν RT₂ / P₂ , V₄ = νRT₄ / P₁.

Отсюда

A = (P₂ – P₁) (T₄ / P₁ – T₂ / P₂) νR =

= (P₂ – P₁) (T₂/P₂) [(T₄/T₂) (P₂/ P₁) – 1) νR =

= (P₂ – P₁)V₂[(T₄/T₂) (P₂/ P₁) – 1)]

Следовательно, работа за цикл будет больше, если Т₄ > T₂.

12. Идеальный газ массы m = 80г и молярной массы μ = 40г/моль нагревают в цилиндре под поршнем так, что температура изменяется пропорционально квадрату давления (Т ~ P²) от начального значения Т₁ = 300К до конечного Т₂ = 400К. Определить работу, совершаемую газом в этом процессе, и количество подведенного к нему тепла.

Ответ: Q = 4(m/μ) R (T₂ – T₁) = 4A = 3.3кДж.

Решение.

Н арисуем график процесса в координатах Р, V. Из уравнения состояния идеального газа

P V = (m/μ) RT

и условия

T = kP²,

где k = const, получаем

P = (μV)/ (mRk),

т.е. уравнение прямой, проходящей через начало координат. Работа газа равна заштрихованной площади трапеции:

A = ½ (P₁ + P₂) (V₂ – V₁) = ½ (mRk/μ) (P₂² – P₁²) =

= ½ (mR/μ) (T₂ – T₁) = 830Дж.

Количество тепла найдем из первого закона термодинамики:

Q = ΔU + A = (m / μ) 3/2 R (T₂ – T₁) + ½ (m / μ) R (T₂ – T₁) =

= 2 (m / μ) R (T₂ – T₁) = 4A = 3.3кДж

13. Моль идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из двух изобар и двух изохор. Отношение давлений на изобарах α = 1.25, а отношение объемов на изохорах β = 1.2 . Найти работу, совершенную газом за цикл, если разность максимальной и минимальной температур газа в цикле составляет ΔТ = 100К. (МФТИ, до91г)

Ответ: A = R ΔТ (α –1) (β –1)/ (α β –1).

Решение.

Н арисуем цикл в координатах Р, V (см. рис.);

α = Р₂/Р₁, β = V₂/V₁;

минимальная температура – T₁, максимальная Т₃ ,

Т₃ – Т₁ =ΔТ.

Работа за цикл равна площади цикла

A = (P₂ – P₁) (V₂ – V₁) = P₁V₁ (α – 1) (β – 1) =

= RT₁(α – 1)( β – 1).

P₂/P₁ = T₂/T₁ = α; V₂/V₁ = T₃/T₂ = β →

T₃/T₁ = α β

откуда

T₁ = ΔТ/ (α β - 1).

Итак A = R ΔТ (α – 1) (β – 1)/ (α β - 1) = 83Дж.

1 4. Моль идеального газа находится в цилиндрическом сосуде под подвижным поршнем, прикрепленным с помощью пружины к сосуду (см. рис.). Сила упругости F , возникающая в пружине, зависит от удлинения ее х по закону F = kx^α , где k и α- некоторые постоянные. Определить α, если известно, что молярная теплоемкость газа под поршнем с = 1.9R. Внешним давлением, длиной пружины в ненапряженном состоянии и трением поршня о стенки сосуда можно пренебречь. ( МФТИ, до91г)

Ответ: α = 3/2 .