5.4. Взаимозаменяемость факторов производства и функция производства в долгосрочном периоде

В долгосрочном периоде фирма может увеличивать или сокращать объем производимой продукции, изменяя количество любых ресурсов, поскольку все ресурсы в рамках долгосрочного периода являются переменными. Однако это не снимает для фирмы проблему выбора. Просто этот выбор характеризуется несколько другими параметрами. Теперь мы должны рассмотреть, как влияет на решение фирмы о том, какие ресурсы и в каком количестве применять, цена используемых ресурсов.

Для анализа взаимозаменяемости используемых ресурсов мы будем использовать уже применяемый нами ранее прием из ординалистской модели, объясняющей поведение потребителей.

Суть проблемы теперь сводится к выявлению более предпочтительного для фирмы набора факторов производства. Мы должны выстроить стоящие перед фирмой альтернативы использования ресурсов в ряд, показывающий возрастание или убывание общих объемов производства.

Выбор, осуществляемый нашей фирмой, мы будем рассматривать в двухмерной модели, когда используется два вида ресурсов. Поэтому функция производства в нашем анализе имеет следующий вид: , где: – общий объем производства фирмы; – знак зависимости; – количество единиц труда и капитала, используемых фирмой. Это допущение существенно упрощает наше исследование и позволяет графически иллюстрировать его. Поэтому графические построения на плоскости мы будем строить, предполагая, что на вертикальной оси измеряется количество используемых единиц капитала, а на горизонтальной оси – используемых единиц труда.

Главным инструментом анализа взаимозаменяемости факторов производства являются изокванты. Введение в экономический анализ этого понятия базируется на том, что в реальности всегда существует множество комбинаций факторов производства, обеспечивающих одинаковый уровень выпуска фирмы. Таким образом, изокванта – это кривая, показывающая все сочетания производственных ресурсов, которые могут быть применены для выпуска определенного объема продукции.

Из сделанных нами допущений логически вытекают важнейшие характеристики изоквант:

1. Любая точка в рамках ресурсного пространства принадлежит какой-либо изокванте. Ресурсным пространством называют поверхность, характеризующаяся положительными значениями и . Поэтому любая точка на ней является комбинацией некоторого количества труда и капитала, а, следовательно, у нее (этой комбинации) существуют равноценные комбинации этих двух ресурсов. С точки зрения фирмы, различные комбинации труда и капитала на заданной изокванте равноценны, поскольку обеспечивают производство одинакового объема продукции. Изокванты, которые расположены дальше от начала координат выражают больший объем производства, чем те, которые находятся ближе к началу координат (см.: рис. 5.3.). Это означает, что при прочих равных условиях потребитель предпочитает комбинации, расположенные на более высоких изоквантах комбинациям, находящимся на более низких изоквантах. Совокупность изоквант, которые указывают на максимально допустимые объемы выпуска продукции, обеспечиваемые любой данной комбинацией применяемых ресурсов, называют картой изоквант.

2. Изокванты не пересекаются. Любая комбинация факторов производства, расположенная на более высокой изокванте, обеспечивает больший объем выпуска, чем любая комбинация факторов производства, расположенная на более низкой изокванте (Q₃>Q₂>Q₁). Пересечение изоквант означало бы, что на одной и той же изокванте (например, на изокванте Q₂) расположены комбинации ресурсов, обеспечивающие больший объем выпуска, чем комбинации на другой изокванте (например, на изокванте Q₁) и комбинации ресурсов, обеспечивающие меньший объем выпуска, чем комбинации на другой изокванте (Q₂), что не соответствует определению изокванты. Однако непересекаемость изоквант не означает, что они равноудалены друг от друга. Две изокванты могут сближаться или удаляться друг от друга в зависимости от характера конкретной функции производства.

3. Участки изоквант, включаемые в производственную функцию, имеют отрицательный наклон. Отрицательный наклон изокванты означает, что при движении вдоль нее переменные изменяются в различных направлениях, то есть, если количество одного ресурса уменьшается, то для поддержания постоянного уровня выпуска, необходимо компенсировать это уменьшение увеличением количества другого ресурса. Конечно, в реальном производстве возможны ситуации, когда, например, увеличение количества какого-то фактора производства не сопровождается ростом объемов производства. Однако такие случаи не включаются в производственную функцию.

4. Участки изоквант, включаемые в производственную функцию, вогнуты к началу координат. Вогнутость, а также ее степень зависят от степени замещения одного фактора производства другим. Движение вдоль изокванты сверху вниз означает, что потребитель замещает капитал трудом, то есть увеличивает количество труда и уменьшает количество капитала в комбинации. В соответствии с принципом снижения предельной отдачи это приводит к тому, что для компенсирования потерь производительности от уменьшения количества единиц капитала требуется все большее количество труда.

Вообще, объяснение вогнутости участка изокванты, включенного в производственную функцию, становится более понятным при определении степени замещения одного фактора производства другим. Экономисты определяют эту характеристику как предельную норму технического замещения. Предельная норма технического замещения капитала трудом (MRTS_LK) показывает меру количества капитала, которую может заменить дополнительная единица труда без изменения количества выпускаемой продукции:

.

Знак «–» в формуле означает, что замещение представляет собой уменьшение количества одного фактора производства и увеличение количества другого фактора производства, то есть движение в разных направлениях. Фактически значение предельной нормы технического замещения в каждой точке изокванты соответствует тангенсу угла ее наклона в этой точке.

Предельную норму технического замещения можно выразить и по-другому. Поскольку все точки на изокванте показывают различные комбинации из двух факторов производства, обеспечивающие производство одинакового объема продукции, попытаемся описать перемещение из одной точки в другую, находящуюся в непосредственной близости от нее. Понятно, что такое перемещение не изменит общего объема производства, а приведет только к тому, что другим станет сочетание труда и капитала в производстве. Если мы будем двигаться вниз по кривой изокванты, то это будет означать, что количество капитала, используемого в производственном процессе, будет уменьшаться, а количество труда – увеличиваться. Потери производительности от уменьшения количества капитала можно выразить как произведение предельного продукта капитала на величину уменьшения его количества, то есть . Возрастание же производительности от увеличения количества труда как . Так как мы перемешались по заданной изокванте, потери в точности равны приобретениям. Значит, эти выражения равны друг другу, то есть:

.

Разделим обе части этого уравнения на :

или .

Левая часть полученного уравнения в точности соответствует значению предельной нормы технического замещения. Значит, мы можем записать:

.

Теперь понятно, почему при увеличении количества труда в производственном процессе (а, следовательно, снижении ) и уменьшении капитала (а, следовательно, росте ) предельная норма технического замещения снижается. А если тангенс угла наклона постепенно снижается, то это и приводит к вогнутости в направлении начала координат кривой изокванты, включенной в производственную функцию.

Однако характер производственной функции – это не единственный фактор, влияющий на взаимозаменяемость факторов производства. Существенное влияние на этот процесс оказывают также общие издержки фирмы, которые определяются количеством покупаемых ресурсов и ценами на ресурсы. Это влияние можно проследить с помощью кривой изокосты, которая показывает альтернативные комбинации ресурсов, которые фирма может купить, затрачивая определенной количество средств.

Для упрощения, мы продолжаем пользоваться введенными ранее допущениями, ограничивая анализ двумя видами ресурсов, полагая, при этом, что общие издержки фирмы ( ) – это сумма средств, затрачиваемых фирмой на покупку необходимых ей ресурсов. Мы также полагаем, что цены ресурсов, то есть сумма денег, которую фирма должна заплатить за единицу каждого ресурса ( и ), не зависят от фирмы. Графические построения мы будем выполнять в рамках того же ресурсного пространства.

Если фирма несет издержки только на покупку труда и капитала, то линия ее изокосты будет выражаться линейной функцией:

,

где: – величина общих издержек фирмы; , – цены, соответственно, труда и капитала, – количество ресурсов .

Как известно, для построения графика линейной функции достаточно иметь две точки. Пусть это будут точки, в которых кривая изокосты пересекает оси (см.: Рис. 5.4.). Эти точки показывают, какое количество одного ресурса могла бы купить фирма, если бы вся величина ограничивалась только затратами на этот ресурс, называют угловыми решениями. Для оси это точка будет на расстоянии от начала координат, для оси – на расстоянии от начала координат.

Функцию общих издержек удобнее представлять в традиционной форме, выражая в ее левой части переменную, которую обычно отображают на вертикальной оси, а в правой – все остальное:

.

Теперь свободный член нашего уравнения ( ) выражает расстояние от начала координат до точки, в которой кривая изокосты пересекает вертикальную ось, а коэффициент при – это тангенс угла ее наклона. Умножение этого коэффициента на –1 дает соотношение цен труда и капитала. Чем круче линия изокосты, тем больше отношение цены труда к цене капитала и, следовательно, тем большим количеством капитала должна пожертвовать фирма, чтобы получить дополнительную единицу труда. Фактически отношение показывает, от какого количества капитала должна отказаться фирма, если она пожелает приобрести дополнительную единицу труда, не изменяя при этом общие издержки. То есть это не что иное, как альтернативная стоимость труда, выраженную в количестве единиц капитала.

Издержки производства фирмы могут меняться при изменении составляющих его параметров. Соответственно будет меняться и положение кривой изокосты. Так, решение фирмы увеличить общие затраты на ресурсы приведет к параллельному сдвигу линии изокосты вверх, а решение фирмы уменьшить общие затраты на ресурсы приведет к параллельному сдвигу линии изокосты вниз. Изменение цен, по которым фирма покупает ресурсы, приведет к тому, что угловое решение сдвинется по оси, соответствующей ресурсу, цена которого изменилась. Сдвинется влево при повышении цены и вправо при снижении цены. Пропорциональное изменение цен обоих ресурсов приведет к изменениям, аналогичным тем, которые имеют место при изменении общих издержек.

После того, как мы описали характер производственной функции и определили факторы, ограничивающие финансовые возможности фирмы, нам следует исследовать взаимодействие этих параметров. Рассмотрение изокванты и изокосты в рамках одного и того же ресурсного пространства облегчает эту задачу (см.: рис. 5.5). Поскольку фирма, будучи рациональным субъектом, стремиться произвести как можно больше продукции при заданных издержках, она должна, выбирая точку на линии изокосты стремиться к тому, чтобы эта точка оказалась на максимально высокой изокванте. Несложный анализ показывает, что такой точкой является точка E на кривой изокванты Q₂. В этой точке фирма покупает единиц труда и единиц капитала. Любое изменение комбинации ресурсов приводит к тому, что фирма опускается на более низкую кривую изокванты, а, следовательно, будет производить меньший объем продукции. Следовательно, оптимальная комбинация ресурсов, которые приобретает фирма, достигается в точке касания кривой изокванты и линии изокосты. Именно та кривая изокванты, которой касается линия изокосты, является максимально высокой, из достижимых, в случаях, которые включаются в производственную функцию (см.: рис. 5.5.).

Теперь на основе полученных результатов сформулируем условия, при которых обеспечивается оптимальная комбинация ресурсов.

Во-первых, мы видим, что равновесная комбинация труда и капитала лежит на линии изокосты, то есть:

.

Во-вторых, в точке оптимальной комбинации ресурсов, поскольку это точка касания линии изокосты и кривой изокванты, наклон изокванты равен наклону изокосты. Как мы отмечали ранее, наклон кривой изокванты выражается предельной нормой технического замещения умноженной на –1, то есть:

наклон кривой изокванты ,

наклон линии изокосты .

Следовательно, мы можем записать, что

или или .

Последнее выражение означает, что для оптимального сочетания ресурсов фирме следует так распределить средства на их приобретение, чтобы отношение предельного продукта ресурса к его цене было равным для всех ресурсов.

Нетрудно понять, что сделанные нами выводы можно распространить и на те случаи, когда в производственном процессе используется более двух ресурсов. Тогда условия оптимального сочетания ресурсов будут выглядеть следующим образом:

1. ;

2. .