Нормальний розподіл
Для визначення стратегії подальшого статистичного аналізу даних велике значення має встановлення відповідності (чи невідповідності) емпіричного розподілу нормальному розподілу.
О.В.Сидоренко [244] пропонує перевіряти нормальність розподілу ознаки шляхом обчислення показників асиметрії та ексцесу з наступним їх зіставленням з критичними значеннями за формулами М.О.ГІлохинського та Є.І.Пустильніка.
Асиметрія
- це кількісна міра “скошеності”
симетричного розподілу від середніх
значень праворуч (позитивна асиметрія)
або ліворуч (негативна асиметрія) (див.
нижче рис. 38).
Показник асиметрії (А) обчислюється за формулою:
£(Хі -х)3
А = ^ — (7)
пхо
В якості міри опуклості симетричного розподілу використовується ексцес (Е). Для ексцесивних кривих характерним є надмірне накопичення (позитивний ексцес) або навпаки зниження (негативний ексцес) частот у центральних класах варіаційного ряду (див. рис. 39).
Показник ексцесу (Е) обчислюється за формулою:
І(х, -х)4
Е = ^ 3 (8)
пха
Рис. 39. Ексцес: а) позитивніш; б) негативний
При симетричних розподілах коефіцієнти асиметрії та ексцесу дорівнюють нулю.
Визначимо показники асиметрії та ексцесу для прикладу, наведеного в таблиці 35 за формулами М.О.Плохинського та Є.І.Пустильніка і зіставимо з ними емпіричні значення.
Таблиця 35
Розрахунок показників асиметрії та ексцесу
Номер дос ліджу ваного |
Резуль тат тесту (•*,■) |
хі - X |
0, -х)2 |
(*, - *)3 |
(*,. -х)4 |
1 |
14 |
-7,3 |
53,3 |
-389 |
2839,82 |
2 |
30 |
8,7 |
75,7 |
658,5 |
5728,98 |
3 |
16 |
-5,3 |
28,1 |
-148,9 |
789,048 |
4 |
18 |
-3,3 |
10,9 |
-35.9 |
1 18,592 |
5 |
25 |
3,7 |
13,7 |
50,66 |
187,416 |
6 |
17 |
-4,3 |
18,5 |
-79,5 |
341,88 |
7 |
21 |
-0,3 |
0,1 |
-0,03 |
0,0081 |
8 |
29 |
7,7 |
59,3 |
456,5 |
3515,3 |
9 |
24 |
2,7 |
7,3 |
19,7 |
53,1441 |
10 |
19 |
-2,3 |
5,3 |
-12,2 |
27,9841 |
п = 10 |
X = 21,3 |
£(*,. -х) = 0 |
X (*,-*)2 = 272,2 |
Х(*.- -*) = 519,8 |
-*)4 = 13602,2 |
У таблиці 34 ми визначили середнє арифметичне (х), котре дорівнює 21,3. Результат обчислення середнього квадратичного відхилення (о) поданий у формулі (5) і дорівнює ±5,5. Показники асиметрії та ексцесу обчислюємо за формулами (7) і (8).
Помилки репрезентативності для показників асиметрії (тА) та ексцесу (/и/;) визначаються за допомогою формул:
тА‘Ії (9)
де п - кількість досліджуваних.
У тому випадку, якщо показники асиметрії та ексцесу перевищують за абсолютною величиною власну помилку репрезентативності у 3 і більше разів, то це свідчить про достовірні відмінності емпіричних розподілів від нормального:
(П)
(12)
У даному випадку:
Оскільки обидва показники не перевищують у три рази власну помилку репрезентативності, то можна зробити висновок про нормальний розподіл даної ознаки за формулами М.О.Пло- хинського [207|.
Здійснимо перевірку за формулами Є.І.Пустильніка [228]. Якщо емпіричні значення показників асиметрії і ексцесу будуть нижчими за критичні, то можна казати про нормальний розподіл ознаки.
Обчислимо критичні значення для показників Л і Е.
(14)
Таким
чином, обидва варіанти перевірки, за
М.О.Плохинсь- ким та Є.І.Пустильніком,
привели до однакового результату:
розподіл результативної ознаки у даному
прикладі є нормальним.
Очевидно, що наведені вище обчислення є достатньо громіздкими навіть для невеликої за обсягом вибірки, тому на практиці психологи досить часто працюють із “сирими” балами, не перевіряючи ступінь збігу отриманого емпіричного розподілу з нормальним. З математичної точки зору це, звичайно, припустимо, але разом з тим необхідно підкреслити, що при подальшій статистичній обробці таких даних дослідник має користуватися виключно непараметричними критеріями. І лише у випадку доведення нормальності розподілу можливе застосування параметричних статистичних критеріїв.