4.2Линейная модель международного обмена

Здесь мы рассмотрим простую линейную модель обмена, которую мы чисто условно назовем моделью международной торговли. Ее математическая формулировка близка к модели Леонтьева Error: Reference source not found. Рассмотрим стран, торгующих друг с другом. Будем считать, что весь национальный доход страны с номером складывается от продажи своих товаров либо внутри страны, либо другим странам. Предположим также, что мы имеем дело с уже сложившейся структурой международной торговли, а именно что доля дохода -й страны, которая тратится на покупку товаров (импорт) у страны с номером , постоянна; в частности, она не зависит от величины этого дохода. Эта гипотеза есть не что иное, как вновь предположение о линейности модели, ограниченность которого в данном случае также ясна, поскольку в действительности существует постоянная компонента дохода всякой страны (идущая на самые основные нужды), мало зависящая от общей величины дохода.

Обозначим матрицу, составленную из чисел , описывающих структуру торговли, через =( ), вектор доходов , — через = . Тогда, начиная торговать в соответствии с матрицей обмена , после одного тура торговли страны будут обладать доходами, величина которых будет описываться вектором . В связи с этим можно поставить два вопроса.

1. Считая, что ни одна страна не желает уменьшения своего дохода, требуется выяснить: согласятся ли они торговать в соответствии с матрицей при существующем векторе доходов ? Ясно, что при этом необходимо выполнение неравенства

34. .

2. После туров торговли распределение доходов будет описываться вектором . Спрашивается: как ведет себя эта последовательность, каково будет предельное распределение доходов?

Отметим, что в линейной модели обмена квадратная -матрица обладает свойством, которое не присутствовало в матрице Леонтьева из предыдущего параграфа. Именно, определение чисел , , как долей единицы дает равенство

35. .

Используя Error: Reference source not found, нетрудно показать, что если вектор удовлетворяет неравенству Error: Reference source not found, то

36. = .

Этот факт, впрочем, очевиден из содержательных соображений: если при описанном обмене кто-то обогащается, то обязательно кто-то другой терпит убытки. Таким образом, первый вопрос, отнесенный к модели обмена, можно переформулировать так: каким должен быть (и существует ли) вектор доходов стран — участниц обмена, чтобы выполнялось равенство Error: Reference source not found?

Напомним основной вопрос относительно модели Леонтьева Error: Reference source not found: сможет ли наша технология удовлетворить любой конечный спрос 0? С математической точки зрения вопрос о существовании решения уравнения в Error: Reference source not found полностью определяется существованием матрицы , где —единичная -матрица. Однако, даже если матрица существует, это еще не означает, что вектор будет неотрицательным. Нетрудно видеть, что модель Леонтьева продуктивна в том и только том случае, когда матрица существует и все ее элементы неотрицательны, или, короче говоря, когда матрица - неотрицательно обратима.

Так же обстоит дело и с моделью обмена: необходимым условием существования решения уравнения Error: Reference source not found является наличие у матрицы собственного числа, равного 1. Отметим, что число 1 по определению матрицы обмена (формула Error: Reference source not found) является собственным для . В самом деле, нетрудно убедиться, что для вектора-строки =(1, 1, ..., l) выполнено равенство = , или = . Это означает, что число =1 является собственным для матрицы . Наше утверждение теперь следует из того, что множества собственных чисел матриц и совпадают. Тем не менее вопрос о существовании неотрицательного собственного вектора-столбца матрицы обмена , соответствующего числу =1, остается открытым.

Особенность матриц в модели Леонтьева и модели обмена состоит в том, что все элементы этих матриц неотрицательны. Мы записываем этот факт в виде неравенства 0 и кратко говорим, что матрица неотрицательна. Оказывается, что неотрицательные квадратные матрицы обладают рядом особых свойств. Изучению этих свойств посвящен небольшой по объему специальный раздел теории матриц, который мы рассмотрим в следующем параграфе.