7.4.2Теорема Эрроу

Кроме транзитивности, групповая система предпочтений должна удовлетворять и другому известному требованию к системе предпочтений — полноте (или совершенности), т.е. для любых двух альтернатив группа должна указать лучшую. Кроме этих двух естественных и уже известных свойств, система предпочтений группы должна удовлетворять еще двум требованиям, которые проистекают уже из ее природы.

Аксиома единогласия. Если все члены группы считают, что х -< у, то и группа должна так считать.

Аксиома независимости. При сравнении х и у группа забывает о других альтернативах, т.е. важно лишь знать, кто из членов группы считает, что х -< у, а кто — наоборот («когда обсуждают достоинства Пьера и Поля, то достоинства Жана при этом абсолютно ни причем» — пишет И. Экланд, один из известных исследователей в области математической экономики). Эта аксиома распространяется и на большее число альтернатив.

При анализе возможных правил принятия решений в группах на ум приходит и еще одно возможное правило, которое ранее было названо диктатурой: группа всегда принимает решение, совпадающее с мнением одного из ее членов, который и называется диктатором.

К. Эрроу установил, что если групповое правило принятия решений удовлетворяет требованиям полноты, транзитивности, единогласия и независимости, то это — диктатура. Следовательно, если считать диктатуру неприемлемой, то теорему Эрроу надо считать теоремой о несуществовании демократической процедуры принятия решений в группе. Понятно поэтому, что теорема Эрроу в советское время была в сущности под запретом.

Но можно придать теореме Эрроу и некоторый другой смысл. Она утверждает, что не существует демократической процедуры принятия решений, а если диктатура отвергается, то значит не существует никакого группового правила принятия решений, т.е. не существует никакого автоматического правила принятия решений в группе, учитывающего предпочтения членов группы. Следовательно, выработка группового решения не происходит автоматически, требуется обсуждение, согласование, обмен мнениями, возможно и изменение мнения некоторых членов группы и т.д. Другими словами, для выработки группового решения члены группы должны сотрудничать друг с другом. Выработка группового решения — это творческий процесс.

7.4.3Оптимальность по Парето

Продолжим рассмотрение принятия решений группой лиц. В группе всего членов. Пусть есть множество возможных альтернатив, на котором у каждого -го члена группы есть своя система предпочтений ^,. Теорема Эрроу утверждает, что не существует группового правила выработки решений, значит, надо искать какие-то частичные возможности согласования интересов членов группы. Это приводит к следующему понятию, введенному В. Парето (итальянский экономист и социолог, 1848—1923).

Элемент а е А называется оптимальным по Парето, если не существует Ъ е А, такого, что а -<, Ь для всякого ; = 1,..., т , и а -<, Ъ хотя бы

для какого-то ;' = 1,..., т. Все элементы, оптимальные по Парето, образуют множество оптимальности по Парето.

Пример 1. Пусть группа состоит из двух членов. Множество альтернатив А есть четырехугольник ОАВС (рис. 1). Пусть (х^,х^) ^,

к

в

-<.(х[, х^),еслих^< х;, и (х„ х^) -;,

-<^х[, х\), если л, < х\ для « = 1, 2

Найдем множество оптимальности по Парето.

Решение. Легко видеть, что точка К оптимальна по Парето, X) если построенный в ней «уголок» р , пересекается с множеством А только по этой точке. Значит, множество оптимальности по Парето есть ломаная АВС.

Рассмотрим теперь для каждого /-го участника его функцию полезности м, вместо его системы предпочтений. Часто в роли групповой функции полезности и берут взвешенную сумму функций полезности членов группы, т.е. и = а^^и^ + ... + а„и„, где ац ..., а„ — набор неотрицательных чисел, сумма которых равна единице. Эти числа называются весами.

Такая функция удовлетворяет требованиям полноты, транзитивности и единогласия. Если положить какой-то из весов а,, .... а„ равным единице, то получится диктатура соответствующего члена группы. Можно также отметить, что эта функция не удовлетворяет аксиоме независимости. Действительно, рассмотрим частный случай такой функции и с равными весами а, = \1т и пусть А», V— две альтернативы, такие, что и\(Х) = и\(Т) - г, г > 0, а для всех остальных членов группы и,(Х) =

= и.(У) + 1, тогда и(Х) > и(У), если г < т - 1, и(Х) < и(Г), если г > т - \, хотя при всех г > 0 индивидуальные предпочтения на X, Т одни и те же: Первый считает, что -У лучше V, а остальные — наоборот.

Хотя эта функция не удовлетворяет аксиоме, она вполне может быть пригодна для исследования процессов принятия решений в группе.

Если фиксировать какую-то функцию и == 0.1^1 + ... + а.„м„ в роли групповой функции полезности (несмотря на ее неполное соответствие этому статусу), то найти наилучшую альтернативу для всей группы несложно — надо найти максимум этой функции.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Множество оптимальности по Парето совпадает с множеством максимумов функций и = о.\щ + ... + а„м„ при всевозможных весах а,, ..., а„.

Пример 2 Для функций полезности участников из примера 1 максимум функции и = ^х + (1 - Х)ж на четырехугольнике ОАВС можно найти графически: надо двигать линию уровня этой функции в направлении вектора (X, 1 - X) и последняя точка четырехугольника, по которой линия уровня еще пересекается с ним, и есть точка максимума Пусть (Хо, 1 - \ц) — направляющий вектор прямой, проходящей через отрезок АВ, (X,, 1-Х,) — направляющий вектор прямой, проходящей через отрезок ВС. Тогда максимум функции и = \х + (1 -- \)х при 0< Х < ^.о в точке А, при \ = Хо — в любой точке отрезка АВ, при Хд < < Х <Х] в точке В, при Х = X, — в любой точке отрезка ВС и при ^., < Х $ 1 в точке С.

Что касается весов ац ..., а,„, то в реальности они могут отражать, например, количество акций, которыми владеют члены группы.