5.2Модель Неймана
Рассмотрим экономику,
описываемую парой (
,
),
где
— пространство товаров,
— множество производственных
процессов, перерабатывающих некоторые
количества товаров в другие количества
тех же товаров. Под товаром (продуктом)
понимают как первичные факторы
производства (земля, труд), сырье (нефть,
уголь), так и конечные продукты
производства, услуги и т.п.
5.2.1Описание модели Неймана
Пусть товаров всего
,
тогда
есть неотрицательный ортант
-мерного
пространства. Множество
производственных процессов имеет в
своей основе конечное число процессов
(
,…,
),
которые называют базисными.
Каждый базисный процесс представляет
собой пару векторов-столбцов
=(
,
)
из
(
).
Содержательный смысл процесса
таков: он затрачивает вектор
={
}
и выпускает вектор
={
},
т.е. перерабатывает вектор
в вектор
.
По смыслу все векторы
,
неотрицательны. Обозначив
=(
,…,
)
=(
,…,
),
получаем, что технология нашей модели
задается парой неотрицательных матриц
(
,
);
матрица
называется
матрицей затрат,
— матрицей выпуска. Комбинируя
базисные процессы, можно получить новые
процессы. Так, возьмем неотрицательные
числа
(
)
и определим новый производственный
процесс
=(
,
);
полученный производственный процесс
кратко обозначим через
=(
,
).
Вектор-столбец
={
}
(
)
называется вектором интенсивностей.
Получившееся более широкое множество
процессов обозначим
.
Можно заметить, что в то время как базисные процессы ( ,…, ) соответствуют, вообще говоря, реальным отраслям, заводам, фабрикам, каждый элемент ( , ) есть некоторый процесс, описывающий определенный режим совместной работы этих отраслей, заводов, фабрик. При этом есть вектор затрат, — вектор выпуска.
=
.
Модель фон Неймана.
Пусть заданы базисные процессы и вектор интенсивностей:
=
,
=
,
=
.
Найти векторы затрат
и выпуска
.
Решение.
=
,
=
так что режим совместной работы (
,
)=
.
Рассмотренная ранее
модель Леонтьева действительно есть
частный случай модели Неймана при
=
,
=
.
Основное отличие модели Неймана состоит
в том, что всякий базисный процесс может
выпускать не один товар. Ясно также, что
модель Неймана линейна.
Перейдем теперь к
описанию динамики модели Неймана.
Рассмотрим
периодов времени, например, лет. В каждый,
-й
период, т.е. на отрезке
,
для производства продукции применяется
один из процессов множества
,
характеризующийся вектором
интенсивностей
.
5.2.2Замкнутость модели Неймана
Кроме линейности
модели мы сделаем еще одно очень важное
предположение: модель Неймана замкнута.
Это означает, что для производства в
период
мы можем тратить те продукты, которые
были произведены в предыдущий период
времени
.
Поскольку выпуск в период
равен
,
а затраты в период
равны
,
то математически предположение о
замкнутости модели записывается
следующей серией неравенств:
,
,
Вектор
=
представляет собой вектор запасов,
имеющих к началу планового периода [
].
Последовательность векторов
(
),
удовлетворяющих системе неравенств
Error: Reference source not found, называют допустимым
планом с началом
и обозначают {
}.
Допустимый план в модели фон Неймана.
Пусть заданы начальный уровень запасов и план интенсивностей:
=
,
=
,
=
.
Показать, что план
,
допустим.
Решение. Проверим выполнение неравенств Error: Reference source not found.
,
.