6.4.5Обобщенное логическое объединение

является прямым обобщением действий логического свертывания для целевых установок II типа (действие 5), при этом

а) критерий:

W _n = — W _j,

выражает противоположные интересы в новой ситуации;

б) критерий

= min L _j  W _j ,

L _j  0;

1  j  S

взвешенно минимизирует невыполнение всей группы целевых установок;

в) критерий

= max L _j  W _j ,

L _j  0;

1  j  S

моделирует требование выполнения хотя бы одной целевой установки с учетом весовых коэффициентов, определяемых по заранее разработанным правилам.

6.4.6Случайное и неопределенное объединение

Суммарным критерием в этом случае объявляется тот или иной частный критерий в зависимости от того, какое значение примет дискретный неконтролируемый фактор j (действие 6), т.е.

= W (j) = W _j , j = 1,..., S.

В общем случае частные критерии могут определяться непрерывной случайной или неопределенной величиной , тогда получим

= W () = W _ ,   Z _о .

Именно этот случай является одним из путей проникновения случайных и неопределенных факторов в сценарий управления и отражает неуверенность оперирующей стороны при выборе критерия эффективности. В частности, если ЛПР не может определить точно коэффициент веса частных критериев в других способах объединения 1 и 5, то эти L_j и будут такими неопределенными факторами; в этом случае

=< , >=W _ ,  Z _о .

6.4.7Единицы измерения целей

Количественное измерение целевых установок требует, как правило, точного указания единиц измерения целей. В первую очередь это необходимо для дальнейшего их согласования и определения взаимозависимости на различных ступенях иерархии.

В качестве измерителей применяются следующие:

— количественное измерение (штуки, рулоны, тонны и т.п.);

— стоимостное измерение (например рубли, доллары и т.п.);

— временное измерение (например, часы, минуты и т.п.).

В необходимых случаях при количественном определении целей прибегают к экспертным оценкам, при которых с помощью экспертов вводят безразмерные условные перерасчетные коэффициенты одних единиц измерения в другие.

6.4.8Полнота системы элементарных действий над критериями

Введенные элементарные действия в состоянии отразить всю широту возможных однозначных зависимостей от W _j , если использовать всевозможные комбинации этих действий. Это следует из нескольких результатов.

Утверждение 1.

Если однозначная функция = F(W ₁,...,W _S) и каждое из W _j принимают лишь конечное число конечных возможных значений, то зависимость от W_j может быть представлена в виде конечного числа действий типа 1, 2, 4.

Утверждение 1 исчерпывает результаты, декларирующие точное представлении зависимостей F(W _j) в виде конечного числа элементарных действий. Следующие утверждения гарантируют возможность их приближенного представления, но с любой заданной точностью.

Утверждение 2.

Пусть функция =F(W ₁,..., W _S) принимает конечное число N значений , а каждое из W _j произвольные ограниченные функции. Тогда, каково бы ни было  > 0, существуют множество М векторов {W_j} и функция F⁰ (W ₁,...,W _S), составленная из конечного числа действий 1, 2 и 4 такие, что

1. F(W _j) = F⁰(W _j), когда {W _j}  M;

2. F⁰(W _j) пробегает все N значений W _{c k} при {W _j}, пробегающем М, не принимая иных значений и при любых {W _j};

3. M образует -сеть на ограниченном множестве всех {W _j}, т.е. для любого {W _j} найдется {W⁰ _j}  M, удаленный от {W _j} не более, чем на .

Так как любая равномерно непрерывная функция с любой заданной степенью точности может быть представлена кусочно-постоянной функцией, то также имеет место следующая теорема.

Утверждение 3.

Если = F(W _j) равномерно непрерывна на некотором параллелепипеде возможных значений {W _j}, то она с любой степенью точности может быть представлена в виде конечного числа действий типа 1, 2 и 4.

С точки зрения практики эти три теоремы охватывают основные возможности построения свертки критериев. Однако справедлива более общая теорема.

Утверждение 4.

Если = F(W _j) (j = 1,..., S) непрерывна на области

— < W ° _j  W _j  W°°_j < ,

то каково бы ни было , найдется такое конечное число коэффициентов A_{k j}, C _{i k j} (i  i°; k  k°  S+2), что в этой области

F(W _j) — min max (A _{i k j}  W _j + C_{i k})   .

1  i  I°; 1  k  k°

Замечание 1.

В формулировке теоремы можно с соответствующим изменением коэффициентов линейных форм, брать не минимакс, а максимин.

Замечание 2.

Поскольку функции

max (— A _{i k j}  Č_j+ C_{i k})

выпуклы, то отсюда следует, что любая непрерывная в ограниченной области функция F(Č_j) с любой заранее заданной точностью приближенно равна

F(Č_j) = ° min F _b (Č_j),

b

где F _b (Č_j) — выпуклые функции, т.е. приближенно равна минимуму, взятому по конечному семейству выпуклых функций.

Замечание 3.

Утверждение 4 может быть использовано и для приближенного представления зависимости критерия эффективности от контролируемых и неконтролируемых факторов. Таким образом, любой непрерывный критерий эффективности = F(W _j) может быть представлен как минимакс семейства линейных функций или как минимум семейства выпуклых функций.