4.3Основные понятия и утверждения теории неотрицательных матриц

Всюду в данном параграфе буквой обозначается квадратная матрица с неотрицательными элементами , — множество, состоящее из первых натуральных чисел.

4. Пусть , . Говорят, что множество изолировано, если =0, как только , .

Понятие изолированности множества допускает прозрачную экономическую интерпретацию на языке модели Леонтьева и модели обмена. Так, изолированность множества в модели Леонтьева означает, что отрасли, номера которых принадлежат множеству , не нуждаются в товарах, производимых отраслями, номера которых принадлежат множеству . Другими словами, часть экономики, образованная отраслями из множества , может существовать независимо от остальных отраслей. Для модели международной торговли изолированность множества означает, что страны с номерами из этого множества не покупают товаров стран из множества S' (хотя, быть может, продают им свои).

Если перенумеровать индексы так, чтобы ={1, 2, ..., }, S'={ +1, ..., }, что соответствует одновременной перестановке строк и столбцов матрицы , то матрица примет вид

37. ,

где и — квадратные подматрицы размеров и .

5. Матрица называется неразложимой, если в множестве нет изолированных подмножеств. Иначе говоря, матрица неразложима, если одновременной перестановкой строк и столбцов ее нельзя привести к виду Error: Reference source not found.

Понятие неразложимости матрицы также имеет интересную экономическую интерпретацию. Так, неразложимость матрицы в модели Леонтьева означает, что каждая отрасль использует хотя бы косвенно продукцию всех отраслей. Более точно, рассмотрим произвольный элемент матрицы . Если , то отрасль непосредственно использует продукцию отрасли . Если =0, то из неразложимости матрицы вытекает существование последовательности индексов , где = , = , и при этом , . Этот факт означает, что отрасль использует продукцию отрасли , отрасль использует продукцию отрасли и т.д., так что косвенным образом отрасль все-таки использует в процессе производства продукцию отрасли .

6. Собственным числом матрицы называется число , для которого существует такой вектор , что выполняется равенство:

38. = .

Вектор называется собственным вектором матрицы .

Уважаемые коллеги!

Дайте геометрическую интерпретацию соотношения Error: Reference source not found.

Основным утверждением при изучении модели Леонтьева является

1. Неразложимая неотрицательная матрица имеет неотрицательное собственное значение = , обладающее следующими свойствами:

1.  0 для любого собственного значения матрицы ;

2. для собственного значения существует неотрицательный собственный вектор .

6. Построение собственных значений и векторов модели Леонтьева.

Рассмотрим модель Леонтьева с матрицей:

39. .

Собственные вектор и число удовлетворяют условию Error: Reference source not found, т.е. удовлетворяют следующей системе соотношений:

40. = .

Чтобы система Error: Reference source not found имела решение, необходимо, чтобы ее определитель

41. =0,

т.е. следует решить уравнение:

.

Решая, получим два собственных числа =1/6 и =2/3, таким образом, =2/3. Затем для каждого собственного числа находим собственные векторы:

= , = .

Таким образом,

=

Уважаемые коллеги!

Проверьте самостоятельно, что указанные решения являются собственными числами и векторами модели Леонтьева.

Следующее утверждение решает проблему исследования модели Леонтьева на продуктивность.

2. Модель Леонтьева с матрицей продуктивна тогда и только тогда, когда собственное значение  1.

На основании этой теоремы модель Error: Reference source not found продуктивна, поскольку =2/31.