7.5.5Кооперативные игры со многими участниками, ядро игры

Обратимся теперь к моделям сотрудничества с большим количеством участников, к кооперативным играм с произвольным количеством игроков.

Обозначим множество игроков в кооперативной игре через 8. Пусть их всего т. Когда игроков много, они начинают образовывать коалиции. Это понятие уже рассматривалось в лекции 4.1. Коалицией может быть любое подмножество множества игроков.

Примеры коалиции. Само 5' есть коалиция. Каждый, ;'-й участник сам по себе тоже образует коалицию {;'}. Пустое множество тоже есть пример коалиции (из нуля участников).

Так как всех различных подмножеств множества из т участников 2», то и различных коалиций не может быть больше. Скорее всего, реально действующих коалиций будет не так уж много, ибо для образования коалиции нужна некоторая общность интересов составляющих коалицию членов. В конце концов формируются лишь некоторые коалиции.

Коалиции участников являются теоретическими аналогами синдикатов, картелей, трестов и других объединений реальной экономики.

Рис.3

В кооперативной игре двух участ- ^ ников игроки выбирают точку из некоторого множества О на плоскости (типичное множество изображено на рис. 3). Выбирая точку (х,, х^) е О, игроки получают выигрыши: Первый — XI, Второй — х-1. В кооперативной игре двух лиц не много может образоваться коалиций: или игроки поодиночке или оба образуют коалицию.

Так же выглядит и кооперативная игра с т > 2 участниками. Каждой коалиции, вернее, просто каждому подмножеству А с 8 сопостав-

лено свое множество выигрышей У{А}. Правила игры разрешают заключение союзов, т.е. образование коалиции. Предполагается, что никаких тайн нет, задача игрока состоит, следовательно, в том, чтобы решить, в какие союзы ему войти.

Каждая коалиция А может гарантировать своим членам любой платеж из множества У(А), и только из него. Иными словами, если коалиция А образуется и если ее члены согласились на платеж из У(А), то этот платеж они могут обеспечить себе независимо от действий других участников.

Итак, коалиция заботится только о своих членах. Что же касается остальных игроков, не членов коалиции, то она им ничего не может и не пытается гарантировать.

Разумеется, при образовании коалиции ее члены могут согласиться перераспределять свой выигрыш определенным образом. Иногда такие соглашения и приводят к образованию коалиций.

Кооперативная игра происходит следующим образом. Арбитр собирает всех т игроков и предлагает им платеж {и/,:<=1,...,7и}. Для того чтобы это предложение было принято, прежде всего необходимо, чтобы м», > v, для всякого I = 1,..., т. Здесь v, — максимальная полезность, которую г-й игрок может гарантировать себе сам, независимо от действий остальных — это его максиминный выигрыш. Однако так же должно быть и для каждой сложившейся и даже еще не сложившейся коалиции, т.е. если несколько членов группы замечают, что, действуя сообща, они могут получить больше, чем им предложено, то они образуют коалицию и откажутся от предложенного платежа. Будем говорить, что коалиция А блокирует платеж ]У, если существует такой платеж {и,: г е А} е У(А), что м', < и, для всякого г б А и и/, < и, хотя бы для одного г е А.

Приходим к следующему определению: ядром игры называется множество платежей, которые не блокируются никакой коалицией.

По существу, ядро представляет собой множество приемлемых для всех коалиций платежей

Важнейшим вопросом в теории кооперативных игр остается вопрос о непустоте ядра. Приведем один пример, когда ядро пусто.

Тяжба из-за наследства (см. [17, с. 85]). Представим себе миллиардера, имеющего трех племянников и завещающего свое наследство тому, кого они назовут большинством голосов. По-видимому, двое из племянников договорятся голосовать за одного из них с тем, чтобы наследник перечислил половину (или сколько?) наследства своему партнеру Но третий, оставшийся в стороне, возможно, не позволит столь просто это сделать и попытается переманить одного из сообщ

ников, обещая ему большую часть наследства! Пусть размер наследства а Обозначая размеры наследства через уг), ггз, и'з, получим равенства, отражающие возможные коалиции: ус) + уг; = а, уг; + и'з = а, и'3 + и'1 ⁼ а

Складывая эти равенства, получим м/] + и»; + м/з ⁼ За/2, что является противоречием. Итак, любой платеж блокируется какой-нибудь коалицией и ядро пусто.

Задачи

1 Рассмотрите следующие биматричные игры в некооперативном варианте и выясните особенности действий игроков в этих играх:

Г(5, 5) (-4, 6) «1 Г(4, -3000) (10, 6)1 Г(1, 2) (5, 1) 1 [(6, -4) (-3, -3)] [(12, 8) (5, 4) ] [(0, -200) (2, -300)]-

2 Найдите множество оптимальности по Парето и переговорное множество в играх из предыдущей задачи.

3 Игра в загрязнение (см. [17, с. 85—86]). У каждого из т игроков имеются свой садик и ведро с мусором. Игра состоит в том, чтобы высыпать свой мусор в чей-либо садик. Если в садик игрока высыпано п ведер, то его «выигрыш» равен (-п). Докажите, что ядро игры пусто.

4. Рассмотрите задачу 6 из лекции 4.1 и докажите, что ее ядро пусто.

5 Вернемся к модели взаимодействия двух фирм на рынке одного товара (см. лекцию 3.2). Пусть х, — выпуск г-й фирмы. Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Прибыль г-й фирмы равна ^,(х1, Хд) = Ьх,(а - (х, + х;)), где а > 0.

Предположим, что возможные выпуски фирм есть 0, а/4, а/3, а/2. Тогда моделью их взаимодействия будет биматричная игра с матрицей 4 х 4, в которой элемент (о„, Ьу) = {уV^^аI^,]аI^\ ^(]а/4, ?йУ4)). Найдите несколько элементов этой матрицы, например, вблизи точек Курно и Стакельберга.

Если же предположить, что выпуски фирм могут принимать всевозможные значения в промежутке [0, а}, то получится непрерывный аналог биматричной игры.