7.5Кооперативные и некооперативные игры

Конфликт — это такая ситуация, когда имеется более одного участника, цели которых не совпадают и действия которых не являются совершенно независимыми. Такое понимание конфликта шире обыденного представления, при котором в конфликте цели участников непримиримо противоположны.

9. Конфликт «Семейный спор» Муж и жена размышляют о том, как провести вечер. Они могли бы посетить спортивные соревнования по боксу или балетное выступление. Мужу больше хотелось бы пойти на бокс, жене — на балет. Количественные предпочтения участников приведены в таблице.

_Ж^на_ Бокс Б алет

Муж •

«Бокс (2,1) (-!,-!) Балет (-!,-!) (1,2)

Элемент (о^, Ьу) показывает полезность соответствующего выбора для мужа (а„) и для жены (А^). Из таблицы видно, что супругам важно провести вечер вместе, так как в противном случае каждый из них получит даже «отрицательное» удовольствие. Ясно, что им нет никакого смысла проводить вечер порознь, но куда же им пойти вместе?

7.5.1Конфликтные ситуации

Перечислим некоторые общие понятия конфликтных ситуаций.

Участники конфликта (их не менее двух). При числе участников более двух конфликт называется многосторонним. Справедливо, что с ростом числа участников растет и сложность конфликта.

Конфликт называется разрешимым, если существует его решение, с которым согласны все участники конфликта, и неразрешимым в противном случае.

Каждый из участников имеет свою цель в конфликте и перечень возможных действий. Можно сказать и по-другому: каждый из участников действует в соответствии со своей системой предпочтений, желая максимизировать полезность для него того или иного решения конфликта.

В реальной жизни это часто не выполняется по многим причинам:

участники не осознают полностью полезности принимаемых решений, не учитывают решений, принимаемых другими участниками, действуют во гневе или растерянности, вызванными, между прочим, иногда и расчетливыми действиями других участников.

Конфликты бывают разовыми и неоднократными. В неоднократных конфликтах участники могут попытаться найти для себя наиболее правильную линию поведения, или стратегию разрешения данного конфликта. Скажем, в конфликте «Семейный спор» при его многократном повторении супруги могут установить некоторую очередность уступок друг другу.

В лекции 4.1, п. 3 уже упоминались коалиции и их роль в принятии решений. Коалиции действуют как единый участник конфликта, отстаивая интересы членов коалиции. Это придает дополнительную сложность анализу конфликта.

Хорошей моделью конфликта являются игры, кооперативные и некооперативные. Вначале рассмотрим такие игры всего с двумя участниками.

7.5.2Модель конфликта или сотрудничества двух участников

Абстрактной моделью такого конфликта является так называемая биматричная игра, основу которой составляет таблица-биматрица.

Здесь ; = 1, ..., т — множество возможных выборов 1-го участника, ] = 1,..., п — то же для 2-го участника; а„, 6„ — выигрыши 1-го и 2-го участников игры. Получилась таблица, которая и называется би-матрица.

2-й участник 1 ... / - п

1 -и участник ;

V и-

Ход первого игрока состоит в выборе им какой-то строки, ход второго — в выборе им какого-то столбца. Если первый выбрал «-ю строку, а второй —7-й столбец, то первый получает а„, а второй

Ь„.В

Т

этом и состоит партия игры. Каждый из игроков хочет выиграть как можно больше. Вообще говоря, удается установить некоторые закономерности таких игр, лишь если игрокам предстоит сыграть достаточно много партий. В таком случае «как можно больше» означает «как можно больше в среднем за партию игры». Для этого игроки должны найти некоторую разумную манеру игры или, по-другому, стратегию игры

Простейшими стратегиями являются вероятностные стратегии или, смешанные, и их частный случай — чистые стратегии.

Стратегия первого называется смешанной, если выбор г-й строки производится им с некоторой вероятностью р„ такую стратегию можно отождествить с распределением вероятностей Р = (р^, ..., р^,) на множестве строк.

Аналогично определяются смешанные стратегии второго.

Чистая стратегия тоже подпадает под определение смешанной когда все вероятности равны нулю, кроме одной, равной единице. Еслид = 1, то — это 1-я чистая стратегия.

^11	Оп
Р\Я\	Рг^-1

Предположим, что первый играет со стратегией Р, а второй со стратегией (,) = (д\, ..., ^п). Если первый играет по /-и чистой стратегии, а второй — по 7-й, то выигрыши игроков неизменны: первого — а^, второго — Ъу. Если же хотя бы одна из стратегий чистой не является, то выигрыши игроков являются случайными величинами (с.в.). Именно, В игре с указанными стратегиями выигрыш первого есть с.в. ^(/^>, О) с рядом распределения:

ЩР, 0:

РД,

РтЧп

Математическое ожидание этой с. в. есть М\(Р, 0) = ^^а,^,^ . > }

Аналогично определяется случайный выигрыш второго.

Напомним, что по свойствам математического ожидания М\(Р, 0) будет близко к среднему выигрышу первого в расчете на партию за большое число сыгранных партий. Следовательно, можно теперь более точно определить цели игроков: например, для первого — найти такую стратегию игры Р', при которой М\(Р', 0) было бы максимальным. Аналогично формулируется цель второго. При этом остается неясной стратегия другого участника. Таким образом, игроки в своих действиях зависимы друг от друга, что и составляет суть конфликта.

Что еще входит в понятие биматричной игры?

1. Устройство матрицы А = (Оу, 6) сильно влияет на всю игру. Например, если Оу + Ьу = 0, то выигрыш 1-го игрока есть в точности проигрыш 2-го. Это так называемая игра с нулевой суммой, являющаяся игрой со строгим соперничеством (такие игры подробно рассмотрены в следующей лекции).

2. Допускается ли сотрудничество в ходе игры?

3. Можно ли сообщать друг другу какую-нибудь информацию во время игры или нельзя ? Допускаются ли угрозы игроков друг другу и т.п.

Эти моменты весьма существенны и приводят к следующей классификации биматричных игр:

игры со строгим и нестрогим соперничеством;

кооперативные и некооперативные игры;

коалиционные и бескоалиционные игры;

игры с полной и неполной информацией;

конечные и бесконечные игры ...