Глава 2. Цепи при гармоническом воздействии Комплексные амплитуды нескольких сигналов удобно изобразить

Re

Рис.2

сравнение параметров сигналов. Для двух сигналов вводится разность

начальных фаз. Разность начальных фаз двух сигналов, комплексные

амплитуды которых приведены на рис. 2, равна (ср + 45) градусов.

2.2. Уравнения элементов в комплексной форме

Пустьчерезрезисторпротекаетгармоническийток

довательно, напряжение на резисторе определяется формулой

u(t)= RIm cos(o>/ + (р). Представляя в этой формуле ток в комплексной

форме, получим M(f) = Re(.R/me;w'j. Первые два сомножителя в фи-

гурных скобках дают комплексную амплитуду напряжения Um . Соот-

ношение

называют законом Ома для резистора в комплексной форме.

Пусть, например, ток через резистор с сопротивлением R = 2 Ом

равен j(/) = lcosr2jilOOOf + 60°). Записывая комплексную амплитуду

тока в виде /я =1еу60° А, рассчитываем по формуле (1) напряжение на

резисторе Um = 2e °

j6

В

(рис. 2). При необходимости определяем

w(f)=2cos(27ilOOOf + 60°).

Из анализа формулы (1) и приведенного примера следует, что на-

Рис. 2

напряжения на резисторе совпадает с косинусоидальной формой тока.

При использовании проводимости резистора G = 1/Л закон Ома

имеет вид \т = G Um.

Если направления тока и напряжения на резисторе не совпадают,

Рассмотрим гармоническое воздействие на конденсатор (рис. 3).

Пусть к конденсатору приложено гармоническое напряжение

um=-Rim.

С

Рис. 3

u(t) = U m cos(o>/ + ф) . Используя уравнение конденсатора i(t)- С ----- - —

dt

и представляя напряжение в комплексной форме и(/) =

получим i(t) = Re{j(uCUmeJM\. В этом выражении все сомножители,

расположенные перед экспонентой, дают комплексную амплитуду то-

ка через конденсатор

Это уравнение называют законом Ома для конденсатора в ком-

плексной форме. Если направления тока и напряжения на конденсате-

ре не совпадают, то закон Ома записывается со знаком минус:

/„, =-jmC Um. Используя введенное выше понятие проводимости ре-

зистора, по аналогии, величину Yc = j<aC назовем комплексной про-

водимостью конденсатора. Уравнение конденсатора в комплексной

форме теперь можно переписать в виде /и = Yc Um. Если ввести ком-

плексное сопротивление конденсатора Z, = l / Y c , то получим следую-

щую форму закона Ома для конденсатора:

Применение закона Ома для конденсатора в комплексной форме

проиллюстрируем следующим примером. Пусть напряжение на кон-

денсаторе равно M(<)=10cos(27ilOOO< + 30°). Комплексная амплитуда

напряжения имеет вид йт =10е;30° В (рис. 4). При емкости конденса-

Im

U.

30° Re

Рис. 4

тора С= 1 мкФ комплексная проводимость Y = j2nlQ~3 См. По фор-

муле закона Ома рассчитаем комплексную амплитуду тока через кон-

денсатор:

записать

2

/и = YUm = 2n-\Q~2eJ]20° А

в

виде

3

(рис. 4). Теперь ток можно

функции

времени

вещественной

»(f)=2ulO~ cos(27il0 f+ 120°) А.

Из диаграммы на рис. 4 и из анализа формулы (2) следует, что ток

/(/) = Re|/me-'°"}, где im = lme

i<f

— комплексная амплитуда тока. Ис-

-----, после дифференцирования

dt

пользуя уравнение катушки u(t)= L