Глава 10. Цифровая обработка сигналов

Последовательность D(t) в формуле (2) является периодической с

периодом (ц, и поэтому она может быть разложена в ряд Фурье

D ( 0 = J С„ е ™»',

1

(3)

где Шд= 2п/(ц — частота дискретизации.

Используя свойства дельта-функции, получим коэффициенты С„

ряда (3) в виде:

/ЯЮЯ

' А = ШД.

(4)

Используя (4), импульсный сигнал £„(*) можно записать как

*„« = *«) £ (1/гд)^"Шд'.

И=-ос

(5)

Применяя к обеим частям выражения (5) преобразование Фурье,

получим комплексную спектральную плотность импульсного сигнала

ад>)=7- ЁФФ-ишд)],

»Д п=-оо

(б)

где 5(/ш) — комплексная спектральная плотность исходного аналого-

вого сигнала. Из полученного соотношения (6) следует, что спектр

дискретизированного сигнала без учета коэффициента 1//д получается

суммированием бесконечного числа "копий" спектра исходного ана-

логового сигнала. Эти "копии" спектра располагаются по оси частот

через значения 2л//д, равные частоте дискретизации Шд=2т1/д.

На рис. 4 представлены некоторые идеализированные амплитуд-

ные спектры исходного аналогового сигнала и импульсного сигнала

для двух частот дискретизации. Предполагается, что в спектре исход-

ного сигнала определена верхняя граничная частота ШБ- Дискретиза-

ция в первом случае проведена с достаточно высокой частотой

(од > 2юв, и поэтому исходный аналоговый сигнал в принципе мож-

но восстановить из импульсного (дискретизированного) сигнала, ис-

пользуя идеальный фильтр низких частот с граничной частотой рав-

ной или несколько превышающей частоту о>в. Во втором случае

частота дискретизации выбрана меньше: Шд < 2юв. Как видим, спек-

тры соседних компонент здесь перекрываются, возникает эффект

10.1. Дискретизация и квантование

"наложения спектров и восстановление исходного сигнала с помо-

щью фильтра невозможно.

Юв Юд

2Шд

ЗЮд

Рис. 4

Для идеального фильтра низких частот комплексный коэффициент

передачи в области положительных частот равен

Г0) ш < ш в ,

О, ш>ю в .

Используя обратное преобразование Фурье, найдем импульсную

характеристику такого фильтра

g(t) =

sin(27c/B0

(7)

где частота fa = Шв/2л.

В выражении (7) коэффициент К0 для удобства дальнейших вы-

числений выберем равным 1/(2/в). Пусть частота дискретизации равна

удвоенной верхней граничной частоте в спектре сигнала: ./д = 2fB. Ис-

пользуя интеграл Дюамеля истробирующие свойства дельта-

функции, найдем сигнал на выходе фильтра

УЮ-

(8)

Так как эффект наложения спектров отсутствует, то полученный

сигнал идентичен исходному аналоговому сигналу: y(f)-s(f).

Формула (8) выражает теорему Котелъникова: произвольный сигнал,

Глава 10. Цифровая обработка сигналов

спектр которого не содержит частот выше^/в, может быть полностью

восстановлен по отсчетам, взятым через равные промежутки времени,

длительностью не более 1/(2/в).

Отметим, что все реальные сигналы имеют бесконечно широкий

спектр, так как длятся конечное время. Следовательно, при дискре-

тизации этих сигналов всегда возникает некоторая погрешность, обу-

словленная эффектом наложения частот. Спектральные компоненты

дискретного сигнала будут искажены, причем погрешность, как пра-

вило, будет возрастать с ростом частоты гармоники в спектре сигна-

ла. На практике верхнюю частоту <ав в спектре сигнала удобно опре-

делять по уровню шума, всегда имеющемуся в сигнале. В этом случае

погрешность, обусловленная эффектом наложения частот, будет за-

маскирована шумами.

Как известно, в компьютере все данные представляются с конеч-

ным числом знаков после запятой. Это объясняется конечной разряд-

ностью регистров и шины данных. Поэтому для введения информации

в ЭВМ кроме дискретизации необходимо провести квантование сиг-

нала — округление значений сигнала с заданной точностью. Кванто-

вание сигнала осуществляется в АЦП.

Рис. 5

Квантование проиллюстрировано на рис. 5. На этом рисунке жир-

ными точками показан цифровой сигнал 5ц(&д) — сигнал, полученный

в результате дискретизации и квантования. Сплошной линией на

рис. 5 показан исходный аналоговый сигнал. Пунктирными линиями

нарисованы уровни квантования. Расстояние между этими уровнями

называют шагом квантования А.

Из анализа кривых рис. 5 следует, что при квантовании возникает

погрешность квантования е(#*д) = s(ktp) - 5ц(&д). Эту погрешность для

совокупности произвольных входных сигналов можно считать дис-

кретной случайной величиной.