Глава 10. Цифровая обработка сигналов

ду а¥те *"* . Выходной сигнал с умножителя и входной сигнал

поступают на два входа сумматора. Следовательно, комплексная ам-

плитудавыходногосигналацифровогофильтраравна

дYm = Sm + а¥те~'"" . Разделив левую и правую части этого равенства на

комплексную амплитуду входного гармонического сигнала после

преобразований, получим дискретный комплексный коэффициент пе-

редачи цифрового фильтра первого порядка:

К =Л- —

дSm \-ае»*'

Модуль этого коэффициента дает АЧХ цифрового фильтра. Гра-

i

1,5-

Лч

ч.>

1

0,5 ~

О

f_

Рис. 3

Кроме частотных характеристик для описания работы цифрового

фильтра используются временные характеристики. В общем случае

работа цифрового фильтра описывается линейным разностным урав-

нением с постоянными коэффициентами

bny(k - и) + ... + Ь,Х* - 1) + y(k) = dms(k - т) + ... + d0s(k) ,

где для простоты во всех аргументах дискретных функций опущено

время (д. Например, анализируя схему фильтра первого порядка

(рис. 2), легко получить следующее разностное уравнение:

где 2>i = - а.

Цифровой фильтр называется рекурсивным, если в его структуре

есть хотя бы одна обратная связь. Обратным связям соответствуют не

равные нулю коэффициенты Ъ,, i = I, 2, ..., п, в разностном уравне-

нии (10). Если все коэффициенты 6/ = 0, то фильтр называется нере-

курсивным.

Для цифрового фильтра испытательным сигналом является еди-

ничный импульс 8(А*д):

Г1, * = О,

Реакция на этот испытательный сигнал называется импульсной ха-

рактеристикой цифрового фильтра. Пример импульсной характери-

стики представлен на рис. 4. Импульсную характеристику легко рас-

считать по разностному уравнению или по схеме фильтра.

1

2

3

1 1 , ,.

4

5

6

Рис. 4

Зная импульсную характеристику, можно оценить устойчивость

цифрового фильтра. Если сумма модулей отсчетов импульсной харак-

теристики стремится к бесконечности, то цифровой фильтр будет не-

устойчивым. Если эта сумма конечна, то фильтр устойчив. Например,

легко заметить, что импульсная характеристика нерекурсивного

фильтра конечна и поэтому этот фильтр всегда устойчив. Для цифро-

вой обработки сигналов необходимо использовать устойчивые цифро-

вые фильтры.

10.4. Дискретное преобразование Фурье

В устройствах цифровой обработки сигнала, кроме рассмотренной

выше работы ЭВМ в качестве цифрового фильтра, часто на компью-

тер возлагают задачу расчета спектров обрабатываемых сигналов. При

анализе дискретных и цифровых сигналов спектры удобно находить с