2.3. Уравнения соединений в комплексной форме

Для расчета цепей с гармоническими токами недостаточно знать

полученные выше законы Ома в комплексной форме, требуется также

учесть соотношения между токами в узлах и напряжениями и ЭДС в

контурах. Получим законы Кирхгофа (уравнения соединений) в ком-

| плексной форме, предполагая, что цепь линейна и все токи и напря-

| жения в цепи имеют одинаковую частоту о.

Рассмотрим узел, к которому подключено п ветвей (рис. 1). В со-

I ответствии с первым законом Кирхгофа сумма токов в узле равна ну-

.О

Рис. 1

лю, причем втекающие токи записываем со знаком плюс, а вытекаю-

щие из узла — со знаком минус: /, - /2 + г3 +...-/„= О .

Представим ток k-m ветви в комплексном виде: / t (/) = Re(/te;°"} и

сумму токов перепишем в виде:

В этом выражении при изменении времени / экспонента будет

принимать различные комплексные значения. Получить при всех t ну-

левую вещественную часть можно только при выполнении равенства:

Глава 2. Цепи при гармоническом воздействии

Е±Л = о.

*=i

(1)

Полученное соотношение называют первым законом Кирхгофа

(первым уравнением соединений) в комплексной форме. Знак плюс в

формуле (1) записывается, если ток втекает в узел, а минус — если

вытекает (или наоборот).

Получим второй закон Кирхгофа в комплексной форме. Пусть в

некотором контуре цепи имеются источники напряжения ek(t) и уча-

стки с напряжениями «„(/). Запишем для этого контура второй закон

п

р

Кирхгофа: ]£±еД/)= ^±um(t), где п — число ЭДС, р — число на-

/Ы

я=1

пряжений в контуре.

Представляя слагаемые в формуле второго закона Кирхгофа с ис-

пользованием комплексных амплитуд, получим:

Это выражение при изменении времени t будет равно нулю только

при выполнении следующего равенства, называемого вторым зако-

ном Кирхгофа (вторым уравнением соединении) в комплексной фор-

ме:

.-

(2)

Знак плюс в этой формуле ставится при согласовании направле-

ний ЭДС или напряжений с направлением обхода контура, а знак ми-

нус — когда эти направления не согласованы.

Метод анализа цепей с использованием законов Ома и Кирхгофа в

комплексной форме называется методом комплексных амплитуд

(МКА).

Отметим, что МКА тесно связан с методами расчета резистивных

цепей на постоянном токе. На нулевой частоте все уравнения МКА

превращаются в уравнения на постоянном токе. Наоборот, все форму-

лы, полученные на постоянном токе, обобщаются для цепей с гармо-

ническими сигналами, если вместо сопротивлений резисторов ввести

комплексные сопротивления элементов, а вместо постоянных токов и

напряжений записать комплексные амплитуды.

2.3. Уравнения соединений в комплексной форме

Используя МКА, введем комплексное сопротивление участка цепи.

Пусть задан участок электрической цепи, содержащий пассивные

элементы и имеющий только два контакта а и b для включения в со-

став более сложной цепи (рис. 2). Такие цепи называются двухполюс-

никами.

Величина Z = f/ m // m называется комплексным сопротивлением

участка цепи. Обратное отношение называется комплексной проводи-

мостыо участка цепи: Y = ImIUm.

Рис.2

Используя уравнения соединений (1) и (2), легко показать, что при

последовательном соединении резисторов, катушек индуктивности и

конденсаторов комплексное сопротивление участка цепи равно сумме

сопротивлений элементов, включенных в цепь. При параллельном со-

единении элементов комплексная проводимость участка цепи равна

сумме проводимостей элементов цепи. В сложной электрической цепи

могут содержаться участки с последовательным и параллельным со-

единениями элементов. Используя приведенные правила, можно най-

ти комплексное сопротивление сложного участка цепи. Например, со-

противление цепи, изображенной на рис. 2, равно

z=-

1

Л,

1

1

R2 + j&L

Из анализа полученной формулы следует, что в общем случае

комплексное сопротивление Z участка цепи содержит две компонен-

, ты — вещественную R и мнимую X: Z = R + jX. Сопротивление Z

1

можно представить в экспоненциальной форме Z = ZJ'f, где Z — мо-