Глава 5. Сигналы и их спектры

Полные нормированные линейные пространства называются банахо-

выми.

Дополним пространство еще одной геометрической характеристи-

кой — скалярным произведением (s/, sj) двух векторов. Скалярное

произведение для аналоговых сигналов определяется по формуле

г

где * означает взятие комплексно сопряженного числа. Скалярное

произведение равно взаимной энергии двух сигналов. Из определения

скалярного произведения следует, что величина -J(s, s)-=^\s\\ есть

норма линейного пространства. Следовательно, скалярное произве-

дение порождает норму, а норма в свою очередь порождает метрику.

Пространство со скалярным произведением, при условии, что оно

одновременно является полным (банаховым), называется гильберто-

вым. В пространстве сигналов два элемента s, и Sj ортогональны, если

СУ/, sj) = 0. Взаимная энергия ортогональных сигналов равна нулю.

В обычном трехмерном пространстве важную роль играет сис-

N -1

где Sn — вещественные или комплексные коэффициенты.

Если в пространстве L каждый раз можно найти систему из произ-

вольно большого числа и0> и\, и2, ..., м„ ... линейно независимых эле-

ментов, то пространство L называется бесконечномерным. В беско-

нечномерном пространстве базисом называется такая последователь-

ность элементов м0, «ь м2, ..., и,, ..., когда любой элемент из L можно

однозначно представить в виде:

*=

Snu nn

Бесконечномерное пространство возникает при анализе аналого-

вых сигналов. Для анализа дискретных сигналов, заданных с помо-

щью конечного числа ./V отсчетов, используется W-мерное простран-

ство.

Пусть задана базисная система функций MO, и\, и->_, ... , попарно ор-

тогональных друг к другу и обладающих единичными нормами

если i = j,

Такая базисная система называется ортонормированной.

Разложим произвольный сигнал в ряд по ортонормированному ба-

зису

s=t n«n-

п=О

s

(1)

Представление (1) называется обобщенным рядом Фурье для

сигнала s в заданном пространстве. Коэффициенты 5„ ряда Фурье

находятся просто. Умножим скалярно обе части (1) на базисную

функцию м/

(*,«,) = £ ( и „ , и , ) Я „ ,

л=0

i = 0 , 1, 2,....

Учитывая ортонормированность функций и„ и ut и свойства ска-

лярного произведения (и„ , м, ), получим простую формулу для рас-

чета коэффициентов обобщенного ряда Фурье:

5„=(*. и,).

Например, для аналогового сигнала s(f) коэффициенты ряда на-

ходим по формуле