Глава 5. Сигналы и их спектры Например, из первой теоремы следует, что при увеличении скоро-

5.4. Преобразование сигналов в линейной цепи

Рассмотрим линейную цепь (четырехполюсник), на которую воз-

действует сигнал s(t). На выходе цепи возникает реакция — выходной

сигнал y(t) (рис. 1). Известно, что при воздействии на линейную цепь

гармонического сигнала s(t) = Smcos(mt + q>s) на выходе цепи уста-

навливается сигнал, форма которого также гармоническая:

y(t)= Ym cos (со/ + ф^,). Комплексную амплитуду этого выходного сиг-

нала можно найти по формуле

Ym=K(j<s>)Sm,

(1)

где K(j(ai) — комплексный коэффициент передачи цепи. Исследова-

ния показали, что гармонический сигнал — единственный сигнал, не

изменяющий свою форму при прохождении через линейную электри-

ческую цепь.

s(t)

Рис. I

Пусть на линейную цепь воздействует сложный негармонический

сигнал s(t). Форма сложного сигнала при прохождении через цепь бу-

дет искажаться. Для расчета искажений выходного сигналаХО наибо-

лее часто используются спектральные методы и их обобщения. Суть

спектрального метода проста. Сложный сигнал с помощью рассмот-

ренных выше спектральных разложений представляется в виде суммы

гармонических колебаний. Затем по формуле (1) находятся частичные

реакции линейной цепи на каждый из гармонических входных сигна-

лов. Наконец, в соответствии с принципом суперпозиции результи-

рующий выходной сигнал находится как сумма частичных реакций

линейной цепи.

В соответствии с типом используемого спектра (дискретного или

непрерывного), различают спектральные методы для периодических и

непериодических сигналов. Пусть на входе цепи действует периоди-

ческий сигнал s(t). Представим его в виде ряда Фурье

+ОС

s(t)= ^ГСХ" 0 ', где С„ — комплексная амплитуда и-й гармоники.

п-^с

При воздействии на линейную цепь отдельной гармоники ряда на вы-

ходецепивозникаеттакжегармоническийсигнал

ayn(f) = [CnK(jt£l)}e'" , где CnK(jr£l) = Yn — комплексная амплитуда

выходного сигнала. На основании принципа суперпозиции, справед-

ливого для линейной цепи, получим:

jog

-Юр

*'.

(2)

Формула (2) выражает спектральный метод анализа прохождения

периодического сигнала через линейную цепь.

Для непериодического сигнала используют интегральное пред-

.

-Н50

ставление: s(t) = — J5(ya))e-''°'rfm, где отдельное бесконечно малое

—оо

гармоническое слагаемое равно <&(<)= — - — - — \ej°" . Используя

2n

L

J

формулу (1) и принцип суперпозиции, получим

n.

(3)

В этой формуле

S(j®)K(j(u) = Y(j(o), где

Y(j(u)

-- спектральная

плотность выходного сигнала. Формула (3) дает спектральный метод

анализа прохождения непериодического сигнала через линейную

цепь. Примеры использования спектрального метода даны в практи-

куме.

Произведению двух комплексных функций S(j(o)K(j(o) соответ-

ствует во временной области так называемый интеграл свертки (ин-

теграл Дюамеля)