Глава 3. Методы анализа сложных электрических цепей

ние может совпадать, а может и не совпадать с напряжением ветви.

Например, узловое напряжение f/2 не совпадает ни с одним напряже-

нием ветви. Так как потенциал нулевого узла, как правило, равен ну-

лю, то узловое напряжение часто называют узловым потенциалом. Из

анализа цепи следует, что после определения узловых напряжений

можно рассчитать напряжения на всех ветвях. Например, зная [/, и

t/ 2 , напряжение на ветви а (рис. 1) рассчитываем по формуле:

Ua = U2-Ut. Предполагается, что направление стрелки напряжения

ветви а совпадает с направлением стрелки напряжения U2.

k-\

Рис.2

Пусть цепь содержит пассивные элементы и источники тока. В це-

будем использовать метод комплексных амплитуд. Комплексные ам-

плитуды токов через пассивные элементы цепи, показанной на рис. 2,

равны

В соответствии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма

токов в узле равна нулю. Записывая в эту сумму втекающие токи со

знаком плюс, а вытекающие — со знаком минус, получим

IC-JL +... + / + ...+ / й = 0 .

Подставляя в левую часть этой формулы вместо токов записанные

выше уравнения элементов и оставляя в левой части равенства только

токи источников, после преобразований получим узловое уравнение

для узла k

.. + ±} + .. + Un(~).

RR

Аналогичные узловые уравнения можно получить для всех других

ниях комплексных проводимостей не ставятся.) Взаимная проводи-

мость YkJ образована алгебраической суммой проводимостей

элементов, включенных между fc-м и^'-м узлами, записанными со зна-

ком минус. В уравнении имеется одна проводимость, образованная

суммой (со знаками плюс) проводимостей всех элементов, подклю-

ченных к k-му узлу. Она обозначается Ykk и называется собственной

проводимостью k-ro узла.

С использованием введенных обозначений узловые уравнения для

цепи с п узлами записываются в виде:

Здесь ток Ik, k= I, 2, ... , п, образован суммой токов источников

токов, подключенных к k-му узлу. Причем втекающие токи записыва-

ем в эту сумму со знаком плюс, а вытекающие — со знаком минус.

Систему узловых уравнений удобно представить в матричной

I = YU,

где I = (/,,/2,...,/nJ — матрица-столбец задающих токов источников

токов,

Y

'\\

Y

-М2

Y'Г)

Y

Y=

*71

- матрица проводимостей цепи,

U = (Ul,U2,...,Un} -- матрица-

столбец неизвестных узловых напряжений. На главной диагонали

матрицы проводимостей записываются собственные проводимости

узлов. Остальные элементы матрицы проводимостей — взаимные

проводимости цепи. Из определения взаимной проводимости анали-

зируемой цепи следует, чтоК^ = Ylt . Поэтому матрица проводимостей

рассматриваемой цепи симметрична относительно главной диагонали.

Решение системы узловых уравнений можно находить с использо-

ванием определителей (по правилам Крамера):

где А - — определитель системы, А ^ — определитель, в котором у-й

столбец заменен столбцом токов источников токов (свободными чле-

нами уравнений). При расчетах определитель А ; удобно раскрыть по

у'-му столбцу:

где Akj =(-l)k+JMkJ — алгебраическое дополнение, MkJ — минор оп-

ределителя. Минор — это определитель, полученный из определителя

системы А, в котором вычеркивается k-я строка и у-й столбец. В ре-

зультате будут найдены и узловых напряжений Uj . Зная узловые на-

пряжения, при необходимости можно найти напряжения на всех вет-

вях и определить токи через все ветви электрической цепи.

Отметим, что при использовании метода узловых напряжений

нужно предварительно преобразовать все источники напряжения в ис-

точники тока. На рис. 3 показаны два эквивалентных источника, обу-

словливающих появление на одинаковых нагрузках одинаковых на-