Глава 3. Методы анализа сложных электрических цепей

Метод узловых напряжений используется при наличии зависимых

источников тока, управляемых напряжением (ИТУН). Все другие раз-

новидности источников необходимо преобразовать в ИТУН.

Пусть узловые уравнения некоторой цепи, не содержащей управ-

ляемых источников, имеют вид

/ = у f/, +...+ Y U.+... + Y U- + ...+ Y U ;

2

V тIV JJ jj_ V Т Т iLТТ

Включим в эту цепь ИТУН — зависимый источник тока /, управ-

ляемый напряжением. Часть цепи с ИТУН показана на рис. 3. На че-

Рис. 3

тырех показанных узлах присутствуют узловые напряжения

Ut, Uj, Um> Uk. Управляемый источник подключен к узлам k и т.

Ток этого источника определяется управляющим напряжением

U = Uj-Un действующим между узлами j и i. Причем ток источни-

ка линейно зависит от управляющего напряжения: / = SU. Комплекс-

ный коэффициент S определяет эффективность управления зависимо-

го источника. Размерность S совпадает с размерностью проводимости.

Так как зависимый источник тока подключен к узлам k и т, то ле-

Подставляя вместо тока / значение S(Uj —U,) и перенося слагае-

мые с напряжениями в правые части, получаем:

= ад + ... + (Yk, + S)U, + ... + (Yti- S

+ ... + YJJn •

Jm = ад + ... + (Ymi -S)U,+...+ (Ymj + Syj} + ... + YJJ, .

Следовательно, учет зависимых источников сводится к добавле-

нию или вычитанию коэффициента S из соответствующих элементов

матрицы проводимостей цепи.

Аналогично проводится учет источников напряжения управляемых

током (ИНУТ) в контурных уравнениях цепи. Если ИНУТ описыва-

ется уравнением Ё = DI , где D — коэффициент управления, то к ис-

ходной Z-матрице цепи необходимо в соответствующих местах доба-

вить или вычесть коэффициент управления D.

Для цепей без зависимых источников Z- или У-матрицы всегда

симметричны относительно главной диагонали. При наличии зависи-

мых источников Z- или Г-матрицы цепи, как правило, становятся не-

симметричными относительно главной диагонали. Это обусловлива-

ется тем, что добавление или вычитание коэффициентов S или D

производится в произвольном месте исходной матрицы.

3.4. Свойства линейных цепей

В первой главе был рассмотрен принцип суперпозиции с двумя ис-

точниками в одной ветви. В этом случае реакция на два сигнала в од-

ной ветви линейной электрической цепи равна сумме реакций на каж-

дый из сигналов в отдельности.

Рассмотрим цепь с большим числом источников напряжения, рас-

положенных в р а з н ы х ветвях. Пусть в цепи имеется и независимых

контуров, по которым протекают контурные токи Д. Контурные

уравнения цепи имеют вид

El=zllil+zni2+...+zJn;

Е2 = Z21/, + Z22/2 + ... + Z2nln ;

Для простоты предполагается, что в каждом контуре имеется по

одному источнику напряжения Ek. Решая эти уравнения, найдем

/ - **.

*~ А '

где

i

Z12

д=

|221 Z22 ...

\7

\*-п\

•6я2

7

—

*-пп>

7 \

\7 п< ,

Раскрывая

определитель

А^

по

k-щ

столбцу,

получим

A t = £,Ли + ЕгАи +... + EnAnk, где Aik — алгебраическое дополнение

элемента Zit. Следовательно, k-тл контурный ток в цепи равен

...+ Ё

"А

п

.

(1)

Каждое слагаемое в правой части можно рассматривать как час-