Преобразователь
частоты, модулятор и детектор можно
выполнить8.3. Автогенераторы гармонических колебаний
на аналоговом перемножителе — параметрическом элементе, в кото-
ром, как и в нелинейных цепях, возникают комбинационные гармони-
ки.
8.3. Автогенераторы гармонических колебаний
Автогенератор -это устройство, в котором самопроизвольно
(но не беспричинно) возникают, растут и устанавливаются колебания.
Первопричинами, обусловливающими возникновение автоколеба-
ний, являются внутренние шумы в автогенераторе, импульсы, возни-
кающие в схеме при включении питания, а также помехи, наводки и
т. п. В автогенераторе осуществляется преобразование энергии ис-
точника питания в энергию колебаний. Автогенератор — одно из ос-
новных устройств в радиоэлектронике. Он — и с т о ч н и к всех сигна-
лов в радиоэлектронных устройствах: радиопередатчиках, модемах,
компьютерах, электронных часах и т. п.
Для ограничения амплитуды возникающих колебаний в состав ав-
тогенераторов включают нелинейные элементы, и поэтому автогене-
раторы относят к нелинейным электрическим цепям.
Для построения автогенераторов используются неустойчивые
электрические цепи, в которых после окончания малого по величине
возмущения амплитуда оставшихся колебаний возрастает с течением
времени. В предыдущих параграфах рассматривались устойчивые
электрические цепи, в которых после окончания воздействия колеба-
ния затухают.
Так как при самовозбуждении первоначальная амплитуда колеба-
ний u(f) м а л а (|и| « 0,1 В), то нелинейную электрическую цепь с та-
кими колебаниями можно линеаризовать и описать линейным диффе-
ренциальным уравнением
d"udud
msа„ -—н... + a, \-anu = bm —\-.... + bns.mm" Л"dtdt
(1)
где u(f) — выходное напряжение цепи, s(t) — внешнее воздействие.
Для исследования устойчивости внешнее воздействие на цепь для
простоты можно исключить и вместо (1) исследовать о д н о р о д н о е
дифференциальное уравнение
af£
+... + «, ^. +
a
0
«
c
=0,
(2)
где
uc(t)
— так называемые свободные колебания
на выходе линейной
цепи,
обусловленные н е н у л е в ы м и начальными
условиями. Задавая
начальные
условия, учитываем воздействие на цепь
малых по величи-
не
возмущений: шумов, помех, наводок и т,
п.
Однородному
дифференциальному уравнению соответствует
ха-Глава 8. Нелинейные преобразования сигналов
рактеристическое уравнение, имеющее вид апр" +... + а}р + а0 = 0.
Это уравнение имеет и корней pt,k= 1,2, ..., п. Если корни комплекс-
ные (например, pv = a* +jwt), то они должны быть попарно сопряжен-
ными (например, p V H = oct-jo)*). Каждому простому корню соответст-
nвует решение дифференциального уравнения вида Ake ', где А/, —
постоянная интегрирования, определяющаяся начальными условиями.
Если корень р, имеет кратность т, то (А,+ AMt + ... + Ai+m_}tm~l)ep''
также является решением дифференциального уравнения.
Общее решение однородного уравнения (2) имеет вид
ис(0 = А^' + А2е^' +... + (4 + AMt +... + ^Г-'У* + - •
(3)
В левой части равенства (3) записана вещественная функция, а
правой части в общем случае находятся комплексные слагаемые. Ка-
ждому комплексному слагаемому в (3) с положительной частотой ш*
будет соответствовать "дублер" с отрицательной частотой (как в ряде
Фурье). В этом случае два слагаемых в решении (3) представляются в
виде гармонического сигнала Bkeat< cos( (ott + c p t ) , где В/, — на-
чальная амплитуда, обусловленная первоначальными возмущениями,
q>i— начальная фаза. В зависимости от знака вещественной части кор-
ня характеристического уравнения а* амплитуда гармонического
сигнала будет увеличиваться (рис. 1, а), или уменьшаться (рис. 1, б). В
первом случае получим неустойчивую цепь, которую можно исполь-
зовать для построения автогенераторов, а во втором — устойчивую
электрическую цепь.
Из анализа (3) следует, что полученный вывод о влиянии знака а^
на устойчивость цепи будет иметь место в случае вещественных и
кратных корней характеристического уравнения.
Таким образом, приходим к фундаментальному критерию устой-
чивости: электрическая цепь неустойчива, если в решении однород-
