Глава 5. Сигналы и их спектры

Совокупность коэффициентов Sn называют спектральной харак-

теристикой или просто спектром сигнала. Спектр дает полное и

точное описание произвольного сигнала с помощью счетного множе-

ства коэффициентов 8„. Для множества сигналов наборы коэффици-

ентов Sn в свою очередь образуют вещественное или комплексное

числовое пространство, причем скалярные произведения в функцио-

нальном и числовом пространствах одинаковы. Если Х- ^ х,м, и

i

Y = ]Г у jU j• , то (X, Y) = (х,у). Для одинаковых сигналов X = Y полу-

j

Физический смысл полученного выражения для пространства LI

Важным свойством полных векторных пространств является то,

что норма ошибки аппроксимации будет монотонно убывающей

функцией от числа N учитываемых членов обобщенного ряда. Уве-

личивая N, можно сделать эту ошибку сколь угодно малой.

5.2. Спектр периодического сигнала

Еслииспользоватьвкачествебазисныхфункций

ют пределы слева и справа. В точках разрыва имеет место сходимость

ряда Фурье в среднем. Реальные сигналы, как правило, удовлетворяют

условиям Дирихле.

Ряд Фурье записывается в разных формах. Исходной является ма-

*« = -~ + 2Х «*(иПО + Ь„ 8ш(иП/)),

*

п=1

(1)

где Q = 2n/T -— частота основной (первой) гармоники, а коэффици-

енты а„ и Ь„ равны

2

Т

s(0 cos(nQt) dt,

Ъ„=

2

Т

Как видим, сложный сигнал на отрезке времени Т содержит посто-

янную составляющую и сумму бесконечного числа гармоник с часто-

тами, кратными частоте основной гармоники.

Учитывая,

ряда Фурье

что

ancos(nQt)+bnsm(nQt)=Ancos(n£lt + ф„),

где

А„ = -]а2„ + Ь* , ср„ =-arctg(ba/an), получим радиотехническую форму

*(0= Л + ,Ancos(nClt + ср„).

я=1

(2)

При расчетах наиболее удобна комплексная форма ряда Фурье

s(t}= t С„ eJ"D',

П= -00

(3)

гармоники:

(4)

где С „ — комплексная

амплитуда

«-и

t)e-^'dt.

х

Используя формулу Эйлера: е~' = cos(jc) -j sm(x), получим