параметрами,
учитывают только тогда, когда длина
линии /0
сравнима
или
больше длины волны сигнала К = c/f, где с
— скорость света, а
/—
частота.
Рассмотрим
установившиеся напряжение U и ток / в
произволь-Глава 4. Четырехполюсники, фильтры и длинные линии
ном сечении длинной линии на расстоянии / о т н а г р у з к и (рис. 2,
а). Выделим отрезок с малой длиной А/, примыкающий к рассматри-
ваемому сечению. Так как величина А / « Я,, то отрезок можно пред-
ставить в виде четырехполюсника с сосредоточенными параметрами
(рис. 2, б). На выходных зажимах отрезка из-за влияния распределен-
ных параметров ток и напряжение уменьшаются на А/ и А О соответ-
ственно.
w^*»
а)
/ + д/ i
й+ш\
1*
•
Ь»
^ои, — . П ОоЛ
б)
Рис. 2
Из анализа цепи (рис. 2, б) следует, что изменение напряжения
АС/ = (/^,А/ + уш/щД/Х/ + А/) • Раскрывая круглые скобки и пренебре-
гая величинами второго порядка малости, получим следующее выра-
жение: Д{/ «(/^ +7'ю10) / А/. Разделив правую и левую части равен-
ства на А/ и переходя к пределу при А/—»0, получим первое
телеграфное уравнение длинной линии
(1)
где Z0 = 7^, + 7'<а£о — погонное комплексное сопротивление. Из этого
уравнения следует, что комплексная амплитуда напряжения вдоль ли-
нии
будет обязательно и з м е н я т ь с я ,
если в сечении линии имеется
не
равный нулю ток (производная в (1) не
равна нулю).
Используя
первый закон Кирхгофа для выходного
узла отрезка4.3. Длинные линии и телеграфные уравнения
длинной линии (рис. 2, б), получим A/ = (G0A/ + ya>CA/)t/. Разделив
правую и левую части равенства на А/ и переходя к пределу при
А/ —» 0, получим второе телеграфное уравнение длинной линии
J- ^,
=}
(2)
где 70 =G 0 +_/'a>C 0 — погонная комплексная проводимость длинной
линии. Из второго телеграфного уравнения следует, что при наличии
напряжения в линии комплексная амплитуда тока вдоль линии будет
изменяться. Телеграфные уравнения были получены в конце XIX века
при исследовании линий телеграфной связи.
Дифференцируя уравнение (1) и подставляя в это уравнение вме-
сто производной от тока правую часть уравнения (2), получим одно-
родное линейное дифференциальное уравнение относительно напря-
жения в произвольном сечении линии
dl
2
u o = 0.ДО/
(3)
Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение
уравнения (3) записывается в виде:
С/ = С ] е г '+С 2 е" у / ,
(4)
где y = yZ0I^ —коэффициент распространения, а С, и С2—постоян-
ные интегрирования. Из выражения (4) следует, что напряжение в ли-
нии состоит из двух составляющих.
Решение для тока получим, дифференцируя в соответствии с фор-
мулой (1) выражение (4):
еV /
/"Ч\
-С2е~ У / J,/ С\
(5)где Zc = -Jzo / Y0 — волновое сопротивление.
Рассмотрим решение (4) для напряжения в произвольном сечении
линии. Представляя С 1 =С | е у<|>1 , C2-C2eJ<fl и у=а+;Р, формулу для
напряжения в линии запишем в виде:
