го прибора — анализатора спектра. Простейшая схема такого анали-

затора в качестве основного элемента включает колебательный контур

или полосовой фильтр с высокой избирательностью и перестраивае-

мой центральной частотой. К выходным зажимам фильтра подключа-

ется чувствительный индикатор: милливольтметр или осциллографи-

ческая трубка. Центральная частота фильтра, как правило,

перестраивается автоматически. При совпадении частоты гармоники,

содержащейся во входном сигнале, с центральной частотой фильтра

индикатор показывает амплитуду отдельной гармоники в ряде Фурье.

5.3. Спектр непериодического сигнала и преобразование

Лапласа

На практике все сигналы имеют начало и конец, т. е. являются не-

периодическими сигналами (рис. 1, а). Найдем спектральные характе-

ристики таких сигналов. Для этого удобно использовать изученный

выше ряд Фурье и предельный переход от ряда к интегралу.

/И')

а)

^v /К

-Т

/|t\

°

/h

б)

Рис. 1

Периодически продолжим исходный сигнал s(t), представленный

Г-»оо

ремещение импульсов в этом случае показано на рис.1, б стрелками).

Разложим созданный периодический сигнал sn(f) в ряд Фурье

где С „ - - комплексная

амплитуда и-й

, ^r^2

гармоники:

С„=~ \s(t)e-^dt.

1

-Т/2

Так как интегрирование в последней формуле проводится на ин-

тервале времени, равном периоду, то под интегралом вместо д„(0 за-

писан исходный сигнал s(t). Заметим далее, что при Т—>ю интеграл в

формуле для коэффициента С „ будет зависеть только от частоты «Q.

Поэтому выражение для С „ можно представить в виде С„ - —S(jr£l) ,

ч

Пусть интервал времени Г устремляется в бесконечность. В этом

Комплексная функция ^(^ш) в подынтегральном выражении фор-

мулы (1) определяется в виде:

f)r>'cA.

(2)

Полученные формулы можно рассматривать как преобразование

функции времени s(t) в функцию 5(Уш) от частотной переменной ш и

наоборот. Выражения (1) и (2) называют обратным и прямым преоб-

разованиями Фурье соответственно. Теоретико-множественный ана-

лиз показал, что формулы (1) и (2) справедливы для сигналов s(f), ко-

торые абсолютно интегрируемы и принадлежат пространству L\.

Отметим, что пределы интегрирования в (2) увеличены до беско-

нечности. Это дает возможность применять преобразование Фурье к

непериодическим сигналам, заданным на всей оси времени. Такие

сигналы часто встречаются в теоретических исследованиях.

Фурье-образы 5(_/ш) образуют класс Аф функций, полученных из

сигналов, принадлежащих пространству Z,b Функции из А"ф ограниче-

ны, равномерно непрерывны и при ю—»оо стремятся к нулю. Но в

общем случае функции из К$ не являются абсолютно интегрируемыми

(например, для импульсных сигналов с разрывами). Таким образом,

класс функций К$ шире пространства L b так как включает не только

абсолютно интегрируемые функции.

Формула (1) используется только в том случае, если функция

этом случае сигналы принадлежат ЛГФ и могут быть не абсолютно ин-

тегрируемы.

Если из пространства L\ исключить импульсные сигналы с разры-

вами и другие сигналы, порождающие в А"ф не абсолютно интегрируе-

мые функции, то получим укороченный класс К\$ функций, для кото-

рых справедливы формулы (1) и (2). Преобразование Фурье

устанавливает между классами K\$f) и /f^(co) взаимно однозначное

непрерывное линейное соответствие. Отметим, что все реальные сиг-

налы, как правило, можно отнести к классу К\§.

Рассмотрим пространство сигналов L2(f). Известно, что абсолютно

интегрируемые функции в этом пространстве образуют всюду плот-

ное множество. Поэтому для любой функции s(i) из L2 можно постро-

ить последовательность я*(0 из L2, состоящую из абсолютно интегри-

руемых функций и сходящуюся к s(t) по норме L2. Функции s/jf),

например, можно получить следующим простым способом:

sk(t) = s(t)e~al, сс>0. Если а-»0, то «ДО -> 5(0 по норме L2(t). Все

функции sk(t) абсолютно интегрируемы и для них существует инте-

грал Фурье. Кроме того, для сигналов s^t), имеющих интегрируемый

квадрат, преобразование Фурье также имеет интегрируемый квадрат и

выполняется равенство Парсеваля

Последовательность 5t(yco) сходится к 5(ую) по норме £2(0)- Та-

ким образом, преобразование Фурье устанавливает между простран-

ствами L2(t) и £2(01) взаимно однозначное соответствие — изомор-

физм. Причем из равенства Парсеваля следует, что это соответствие

является с точностью до 2я изометрией.

Наибольшее расширение класса сигналов, для которых определено

*(*) = <,**'

с частотами со и с бесконечно малыми комплексными амплитудами

2я

Из последней формулы следует, что бесконечно малая величина

комплексной амплитуды колебания dCm обусловливается бесконечно

малой полосой частот между/и/+ df, где/= ю/2я, a df~ d(n/2n. От-

ношение dCJdf, равное 5(_/а>), характеризует плотность распределе-

ния комплексных амплитуд вдоль частотной оси. Поэтому S(jco) на-

зывают спектральной плотностью непериодического сигнала.

Спектральная плотность показывает, сколько "приходится" комплекс-

ной амплитуды на диапазон частот df. Из формулы (2) следует, что

спектр непериодического сигнала — сплошной, в отличие от дискрет-

ного спектра периодического сигнала, определяемого рядом Фурье.

Представим комплексную функцию 5(ую) в экспоненциальной

форме: 5|(7со)==5'((в)еу'''(т>. Модуль спектральной плотности S(co) на-

зывают спектральной плотностью амплитуд, а аргумент ф(о>) —