§ 38. Определение контактной площади наклонного валка и металла

При определении контактной площади наклонного валка и металла на участках, деформирующих внутреннюю поверхность обода колеса, разобьем, для упрощения задачи, рассматриваемую площадь на две части. Первая часть представляет собой проек­цию поверхности соприкосновения металла с валком на участке среднего конуса, а вторая — проекцию поверхности соприкосно­вения на переходном участке от среднего конуса к концевому. При этом следует учесть, что протяженность каждой части кон­тактной площади отличается от протяженности образующих на участках среднего конуса и переходного участка. Ниже будет по­казано, что это зависит от величины обжатия.

Рис. 123. Схема обжатия внутренней поверхности обода колесной заготовки

в начальный момент прокатки

Процесс раскатки внутренней поверхности обода в наклон­ных валках происходит следующим образом. При включении ги­дравлики высокого давления наклонные валки начинают обжи­мать внутреннюю поверхность обода колесной заготовки. В пер­вый момент внедрения валка в металл образуется лунка. Вели­чина истинного обжатия при этом равна х (рис. 123, а). Сила давления плунжера нажимного гидравлического цилиндра урав­новешивается сопротивлением металла деформации. Устанавли­вается мгновенное равновесие сил.

С поворотом валка на малый угол, поверхность соприкосно­вения уменьшается, равновесие между постоянным давлением на плунжер гидравлического цилиндра и сопротивлением металла деформации нарушается, и валок вдавливается глубже в колесо. Величина обжатия увеличивается: (рис. 123,6). Опи­санный процесс продолжается до тех пор, пока вся поверхность соприкосновения не расположится по одну сторону от оси на­клонного валка (рис. 123,в): Практически этот процесс протекает мгновенно. По завершении одного оборота колесной заготовки все стадии процесса повторяются. Таким об­разом, необходимо определить контактную площадь при величине обжатия

Определим сначала контактную площадь для горизонтальных сил на участке среднего конуса. Ранее, рассматривая калибров­ку среднего конуса наклонного валка, мы нашли, что проекция дуги соприкосновения металла с валком на этом участке на пло­скость равна (3. 35)

где — проекция дуги соприкосновения на плоскость ;

—переменный радиус наклонного валка на участке сред­него конуса;

— угол наклона оси наклонного валка к горизонту;

— угол наклона образующей среднего конуса к оси на­клонного валка;

х — величина обжатия..

Знак плюс или минус при втором члене уравнения опреде­ляет характер конического сечения и зависит от величины углов и , так как

Обозначим ( ) наименьший радиус среднего конуса наклон­ного валка (в пережиме). Тогда переменный радиус валка на этом участке будет равен

где — расстояние по образующей валка от пережима (точки сопряжения начального и среднего конусов) до рассматриваемо­го сечения.

Подставляя значение переменного радиуса в выражение (3.35), получим

(3.48)

Для любой рассматриваемой конструкции углы и явля­ются величинами постоянными, а значение обжатия х и величина радиуса в точке пережима — заданными. Таким образом, пе­ременной величиной является лишь расстояние до рассматривае­мого сечения .

Обозначим:

Тогда выражение (3.48) можно перписать так:

(3.49)

Для определения контактной площади нужно знать величину проекции поверхности соприкосновения на участке среднего конуса наклонного валка на плоскость, перпендикулярную направ­лений определяемой силы. Как видно из рис. 121, для горизон­тальной составляющей этой силы эта плоскость наклонена к об­разующей среднего конуса под углом

.

Величина одинакова как для точки, взятой на образующей, так и для ее проекции на плоскость, перпендикулярную опреде­ляемой силе . Это вытекает из данного выше определения ве­личины . Следовательно, контактная площадь для участка сред­него конуса наклонного валка будет представлять собой площадь, ограниченную кривой

и двумя ординатами, соответствующими значению для точки пережима и точки, соответствующей концу участка среднего ко­нуса. При этом расстояние между ординатами будет равно про­екции длины образующей среднего конуса на рассматриваемую площадь.

Обозначим:

(3.50)

Тогда искомая контактная площадь может быть опреде­лена так:

Подставим в уравнение (3.49) значение из выражения (3.50). Тогда

(3.51)

Следовательно,

Таким образом,

(3.52)

В § 37 было показано, что в месте сопряжения среднего конуса с переходной частью от среднего конуса к концевому функциональная зависимость, выраженная уравнением (3.35), претерпевает разрыв непрерывности. Вероятность получения перегиб; кривой соприкосновения металла с наклонным валком зависит от величины обжатия.

Возможность применения выведенной формулы для определения контактной площади прокатываемой колесной заготовки и наклонного валка на участке среднего конуса будет ограничена такой длиной образующей среднего конуса, при которой еще не наблюдается перегиба кривой соприкосновения металл, с валком. Эта длина определяется выражением

где х — величина условного обжатия;

—длина образующей среднего конуса.

Естественно, что при определении проекции поверхности со­прикосновения по формуле (3.52) следует подставлять значение , равное

Следовательно,

(3.53)

Для определения вертикальной составляющей силы следует воспользоваться контактной площадью

Перейдем к определению второй части контактной площа­ди — проекции поверхности соприкосновения наклонного валка с обрабатываемым колесом на переходном участке от среднего конуса к концевому. В этом случае проекция дуги соприкоснове­ния металла с валком на плоскость, перпендикулярную опреде­ляемой силе , будет равна согласно уравнению (3.45)

(3.54)

где р—радиус закругления переходной части от среднего конуса к концевому;

х — величина фиктивного обжатия;

— угол наклона оси наклонного валка к горизонту;

— абсолютное значение переменного угла, отсчитываемого от линии, проходящей через центр окружности радиуса р и перпендикулярной к оси наклонного валка.

Угол может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Знак при определяется подстановкой одного или дру­гого значения.

Искомая часть контактной площади может быть определена из выражения

Подставляя значение из выражения (3.54), получим

(3.55)

Полученный определенный интеграл не может быть решен. Поэтому для определения второй части контактной площади на­ми предлагается эмпирическая формула:

(3.56)

Переменная величина у представляет собой длину контакт­ной площади на втором участке, которая может быть выражена уравнением

. (3.57)

Все остальные величины, входящие в эту формулу, имеют то же значение, что и для точной формулы.

Эмпирическая формула (3.56) очень упрощает подсчет и дает значения контактной площади, весьма близкие к истинным. Нами было произведено определение контактной площади для переход­ного участка от среднего конуса к концевому как по точной, так и по приближенной формуле для значений х = 4; 5; 6 и 7 мм и значений радиуса закругления переходной части р = 30; 40 и 50 мм. При подсчетах по точной формуле контактная площадь определялась построением по точкам и последующим плани­метрированием. На рис. 124, 125 и 126 показаны контактные пло­щади для переходного участка, построенные по точной формуле для различных значений х и со­ответственно для р = 30; 40 и 50 мм. Значения полученных контактных площадей сведены в табл. 23.

Как видно из данных табл. 23, отклонения в величинах площа­дей, построенных по точной фор­муле и подсчитанных по прибли­женной эмпирической формуле, не превышают 5%, что вполне допустимо. При этом нужно учесть, что максимальное откло­нение относится в одном случае к максимальному значению ра­диуса закругления р и минималь­ному значению фиктивного об­жатия х, а в другом — к мини­мальному р и максимальному х; оба эти случая маловероятны в практике вследствие того, что для цельнокатаных колес р не превышает 40 мм, а значения х превышают 4 мм. Таким обра­зом, отклонения не выходят фак­тически за пределы 3,5 %. По­этому эмпирическую формулу можно смело рекомендовать как вполне пригодную для быстрых и достаточно точных подсчетов.

При определении контактной площади следует также учиты­вать, что максимальное значе­ние отрицательного угла , вхо­дящего в формулу, должно быть увеличено по сравнению с значе­нием, определяемым построением профиля переходной части от среднего конуса к концевому. Это увеличение должно соответст­вовать уменьшению длины образующей среднего конуса. Из по­строения рис. 127 видно, что значение добавочного угла за­висит от величины обжатия и равно

(3.58)

Следовательно, максимальное значение у равно

(3.59)

Таблица 23

Значения контактных площадей

х, мм

Контактная площадь , при

По точной формуле

По приближенной формуле

Разность

По точной формуле

По приближенной формуле

Разность

По точной формуле

По приближенной формуле

Разность

мм

%

мм

%

мм

%

4 5 6 7

983,2 1097,0 1220,7 1310,8

1029,0 1140,0 1246,0 1324,4

+45,8 +43,0 +25,3 +13,6

+4,6 +3,9 +2,0 +1,0

790,8 889,6 974,0 1067,0

788,2 884,3 978,3 1076,7

-2,6 -5,3 +4,3 +9,7

-0,33 -0,60 +0,44 +0,91

592,0 662,8 731,7 812,0

576,2 657,3 741,2 852,0

-15,8 -5,5 +9,5 +40,0

-2,83 -0,83 +1,30 +4,52

В данных табл. 23 учтен добавочный угол.

Обратив внимание на графики функциональной зависимое между и у или, что то же, между и (см. рис. 124 ), можно видеть, что проекции поверхностей соприкосновения для участков со значениями от до и от 0 до нерав­ноценны. Поверхность соприкосновения для первого участка со­ставляет лишь небольшую часть общей площади на участке пе­рехода от среднего конуса к концевому.

Следовательно, точка приложения равнодействующей удель­ного давления на переходном участке от среднего конуса к кон­цевому смещена в сторону отрицательных углов . Очевидно, что точка приложения равнодействующей находится в центре тяже­сти контактной площади или на линии, делящей эту площадь пополам. Значение у', определяющее ординату центра тяжести контактной площади, может быть найдено из уравнения

(3.59)

Рис. 124. Контактные площади для силы Рис. 124. Контактные площади для силы

при мм и значениях х=4;5;6 и 7мм при мм и значениях х=4;5;6 и 7мм

Рис. 126. Контактные площади для силы при мм

и значениях х=4;5;6 и 7мм

Рис. 127. Построение добавочного угла в месте перехода от среднего конуса

к закруглению переходной части

Затем по формуле (3. 57) для найденного значения у' можно подсчитать угол . Последний и определит точку приложения равнодействующей удельных давлений.

В некоторых случаях для определения усилия, действующего на начальный конус нижнего наклонного валка, необходимо опре­делить контактную площадь нажимных роликов и колесной заго­товки. Так как в этом случае нас интересует давление, действую­щее со стороны нажимных роликов на колесную заготовку в на­правлении оси , то его следует определять в последний момент прокатки, когда контактная площадь будет максимальна. В этот момент зев роликов полностью заполнен металлом, и контактная площадь определится как поверхность, ограниченная двумя ду­гами АВ и , прямой АС и кривой (рис. 128). Для упроще­ния определения контактной площади принимаем, что площадь равновелика площади . Это весьма близко к дей­ствительности, так как значения радиусов нажимного ролика в его зеве и колесной заготовки изменяются относительно не­значительно, ввиду малой величины зева ролика по сравнению с его радиусом. Во всяком случае эти изменения мало сказыва­ются на величине хорды, стягивающей дугу соприкосновения ролика с колесной заготовкой.

Если обозначить обжатие колесной заготовки в горизонталь­ном направлении через , то величина полухорды ВЕ будет равна

Величина чрезвычайно мала по сравнению с радиусом ролика, поэтому значением под корнем можно пренебречь.

Тогда

Рис. 128. Контактная площадь нажимного ролика

в направлении оси

Обозначив высоту гребня через , получим контактную пло­щадь для одного нажимного ролика

(3.60)

При определении контактной площади следует брать средний радиус по гребню.