4. Умови рівноваги системи збіжних сил. Теорема про три непаралельні сили

Для рівноваги системи збіжних сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб рівнодійна, а, отже, і головний вектор цих сил дорівнювали нулю.

Умови, яким повинні задовольняти ці сили, можна виразити в геометричній або аналітичній формі.

1. Геометрична умова рівноваги. Оскільки головний вектор (див. рис.3) системи збіжних сил визначається як замикальна сторона силового многокутника, побудованого із цих сил, то він може дорівнювати нулю, тоді, коли кінець останньої сили в многокутнику збіжиться з початком першої сили, тобто коли многокутник замкнеться.

Отже, для рівноваги системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб силовий многокутник, побудований із цих сил, був замкнутим.

2.Аналітичні умови рівноваги. Аналітично модуль головного вектора системи сил визначається за формулою:

Оскільки під коренем стоїть сума додатних складових, то R може дорівнювати нулю тільки тоді, коли одночасно R_x=0, R_y=0, R_z=0,тобто коли сили, що діють на тіло, будуть задовольняти рівності:

Ці рівності і виражають умови рівноваги системи збіжних сил в аналітичній формі: для рівноваги просторової системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій цих сил на кожну з трьох координатних осей дорівнювали нулю.

Якщо всі збіжні сили, що діють на тіло, лежать в одній площині, то вони утворюють плоску систему збіжних сил. У цьому випадку дістанемо тільки дві умови рівноваги:

тобто для рівноваги плоскої системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій цих сил на дві координатні осі дорівнювали нулю.

Т

Рис.10

еорема про три непаралельні сили. Якщо тіло перебуває в рівновазі під дією трьох непаралельних сил, які лежать в одній площині, то лінії дії всіх трьох сил перетинаються в одній точці.

Доведення. Спочатку розглянемо які-небудь дві сили і , що діють на тіло. Оскільки вони лежать в одній площині і непаралельні, то їх лінії дії перетинаються в деякій точці А (рис.10). Прикладемо сили і в одній точці й замінимо їх рівнодійною . Тоді на тіло будуть діяти дві сили: та , прикладена в деякій точці В тіла. Якщо тіло перебуває у рівновазі, то сили і повинні бути напрямлені по одній прямій, тобто уздовж АВ. Отже, лінія дії теж проходить через точку А, що і вимагалось довести.

Обернена теорема не має місця, тобто якщо лінії дії трьох сил перетинаються в одній точці, то тіло під дією цих сил може і не перебувати в рівновазі. Отже, теорема виражає тільки необхідну умову рівноваги тіла під дією трьох сил.

Питання для самоконтролю

1. Як додаються дві сили?

2. Як додати три сили, що не лежать у одній площині?

3. Геометричний спосіб додавання багатьох сил.

4.Чи має система збіжних сил рівнодійну? Як вона визначається?

5.Як розкласти силу по двох напрямках?

6.Як розкладається сила по трьох напрямках, що не лежать у одній площині?

7.Що називається проекцією сили на вісь, площину?

8. Як сила задається аналітично?

9.На якій теоремі ґрунтується аналітичний спосіб додавання сил?

10. Як додати сили аналітично?

11.Сформулювати умови рівноваги плоскої та просторової системи збіжних сил (геометричні й аналітичні).

12.Сформулювати теорему про три непаралельні сили. Довести її.