2.Теорема про паралельне перенесення сили

Теорема. Не змінюючи стану абсолютно твердого тіла, вектор сили можна переносити паралельно його початковому напряму в довільну точку тіла, прикладаючи при цьому до тіла пару сил з моментом, що дорівнює моменту сили відносно точки, куди сила переноситься.

Нехай на тверде тіло діє сила , прикладена в точці А (рис.2,а).

а) б)

Рис.2

Дія цієї сили на тіло не зміниться, якщо в будь-якій точці В тіла прикласти дві зрівноважені сили і , такі, що = , = – . Здобута система трьох сил є не що інше, як сила , що дорівнює силі , але прикладена в точці В, і пара сил , з моментом

.

Теорема доведена. Отже, здобутий результат можна ще подати так , як показано на рис.2,б.

3. Зведення системи сил до даного центра

Завдання зведення системи сил до даного центра зводиться до заміни даної системи сил іншою, їй еквівалентною, але простішою.

Нехай на тверде тіло діє довільна система сил , , ..., (рис.3,а). Оберемо яку-небудь точку О за центр зведення і, користуючись вище доведеною теоремою, перенесемо всі сили в центр О, приклавши при цьому відповідні пари.

Тоді на тіло буде діяти система сил:

,

прикладених у центрі О, і система пар, моменти яких дорівнюють:

.

а) б)

Рис.3

Збіжні сили, прикладені в точці О, можна замінити однією силою , прикладеною в точці О. При цьому або .

Щоб додати всі пари, необхідно додати вектори моментів цих пар. У результаті система пар заміниться однією парою, момент якої:

або .

Величина , що дорівнює геометричній сумі всіх сил, називається головним вектором системи сил; величина , що дорівнює сумі моментів всіх сил відносно центра О, називається головним моментом системи сил відносно цього центра.

Таким чином, ми довели теорему про зведення системи сил до центра: довільну систему сил, прикладених до абсолютно твердого тіла, можна звести до однієї сили , яка дорівнює головному вектору системи сил і прикладена в центрі зведення О, і однієї пари з моментом , який дорівнює головному моменту системи сил відносно центра О (рис.3,б).

Тут не є рівнодійною системи сил, оскільки заміняє систему сил не одна, а разом з парою.

Висновок з теореми. Дві системи сил, що мають однакові головні вектори і головні моменти відносно одного і того ж центра, еквівалентні (умова еквівалентності систем сил).

Очевидно, значення від вибору центра О не залежить. Значення ж при зміні положення центра О може змінюватись. Тому слід вказувати, відносно якого центра визначається головний момент.

4.Умови рівноваги системи сил. Теорема про момент рівнодійної (теорема Варіньйона)

П.Варіньйон (1654–1722) – видатний французький учений, математик і фізик. Виклав основи статики в книзі “Проект нової механіки” (1687р.).

Для рівноваги будь-якої системи сил необхідно і достатньо, щоб головний вектор цієї системи сил і її головний момент відносно будь-якого центра дорівнювали нулю, тобто щоб виконувалась умова:

де 0 – будь-який центр, оскільки при значення не залежить від вибору центра 0.

Теорема Варіньйона про момент рівнодійної. Якщо дана система сил має рівнодійну, то момент рівнодійної відносно будь-якого центра О дорівнює сумі моментів сил системи відносно того ж центра.

Д

Рис.4

оведення. Нехай система сил , ,..., зводиться до рівнодійної , лінія дія якої проходить через деяку точку С (рис.4).Прикладемо в цій точці силу . Тоді система сил , , ... , , буде перебувати в рівновазі, й для неї виконується умова тобто для цих сил (включаючи і ) можна записати:

.

Але оскільки , і вони напрямлені вздовж однієї прямої, то:

.

Підставивши це значення у попередню рівність, дістанемо:

.

Теорема доведена. Нею зручно користуватись для обчислення моментів сил.