3. Швидкості й прискорення точок тіла, яке обертається навколо осі

Точки тіла, яке обертається навколо осі, рухаються не однаково. Але, знаючи закон обертального руху тіла, можна визначити швидкість і прискорення будь-якої його точки в будь-який момент часу. З цією метою встановимо залежність між кутовими величинами φ, ω та ε, які характеризують обертальний рух тіла, і лінійними величинами s, v, а_τ, a_n, а, які характеризують рух точок тіла.

Як ми відзначили вище, точки тіла, що обертається, рухаються по колах, центри яких лежать на осі обертання.

Нехай точка А тіла (рис.4), яке нерівномірно обертається навколо осі О, з поворотом його на кут φ пройде відстань s. Вона вимірюється дугою кола, радіус якого R. Тоді:

s=Rφ.

В

Рис.4

ідстань s і кут φ – функції часу t, а R – величина стала для даної точки. Продиференціюємо за часом обидві частини рівняння і дістанемо:

або v = R ω.

Швидкість ν називається лінійною або коловою швидкістю точки А.

Таким чином, лінійна швидкість точки твердого тіла, яке обертається навколо осі, чисельно дорівнює добутку кутової швидкості тіла на відстань від цієї точки до осі обертання.

Л

Рис.5

інійна швидкість напрямлена по дотичній, проведеній до кола, описуваного точкою А, або перпендикулярно до радіуса R. Оскільки ω для всіх точок тіла в даний момент має одне й те ж значення, то із формули випливає, що лінійні швидкості точок тіла, яке обертається навколо осі, пропорційні їх відстаням від осі обертання.

Покажемо, що вектор лінійної швидкості точки тіла, що обертається, можна визначити як векторний добуток кутової швидкості тіла на радіус-вектор точки, проведений із довільної точки О, взятої на осі обертання (рис.5), тобто

.

Ця формула називається формулою Ейлера. Отже, необхідно довести, що вектор ( ) напрямлений по дотичній до траєкторії точки в бік обертання тіла, а модуль його дорівнює модулю швидкості точки М, тобто

׀ ׀=ωR.

Дійсно, векторний добуток дає вектор, перпендикулярний площині, в якій лежать вектори i (це площина ОМС), напрямлений у той бік, звідки найкоротший поворот від вектора до вектора бачиться проти ходу годинникової стрілки. Цей напрямок збігається з напрямком вектора . При цьому

׀ ׀=׀ ׀·׀ ׀ sinβ,

де β – кут між векторами i .

Як бачимо з рисунка, ׀ ׀ sinβ = R , тоді ׀ ׀ =ωR.

Отже, формула Ейлера доведена.

Продиференціюємо обидві частини рівняння v= R ω, маємо:

або

a_=R.

Підставивши в формулу значення швидкості, маємо:

a_n = R².

Дотичне прискорення напрямлене по дотичній до траєкторії руху точки в бік руху, якщо тіло обертається прискорено, і в зворотному напрямі, якщо воно обертається сповільнено. Нормальне прискорення завжди напрямлене по радіусу до осі обертання (рис.6).

Повне прискорення точки А:

В

Рис.6

ідхилення вектора повного прискорення від радіуса кола, яке описує точка, визначається кутом α, який обчислюється за формулою:

або

Через те що в даний момент часу ω і ε для всіх точок обертання тіла мають одне і те ж значення, то із формули випливає, що прискорення всіх точок тіла, яке обертається навколо осі, пропорційні їх відстаням від осі обертання.

Задача. При запуску двигуна його шків діаметром d=0,2м протягом перших декількох секунд обертається згідно рівняння φ=0,2t³. Визначити швидкості й прискорення точок, розміщених на ободі шківа в момент часу t₁=5с.

Розв'язання. Диференціюючи рівняння руху шківа, знаходимо його кутову швидкість:

.

У момент часу t₁ =5с: =0,65²=15 рад/с.

Продиференціювавши рівняння кутової швидкості шківа, визначимо його кутове прискорення:

.

У момент часу t₁=5с: =1,25=6рад/с².

Знаходимо швидкість і прискорення точок, розміщених на ободі шківа:

v=R=150,1=1,5м/c,

.