2. Принцип можливих переміщень

Можливим переміщенням механічної системи будемо називати будь-яку сукупність елементарних переміщень точок цієї системи із положення, яке вона займає в даний момент часу і які допускаються всіма в’язями, накладеними на систему.

Слід розрізняти дійсне переміщення точки, яке вона здійснює за елементарний проміжок часу dt, і можливе переміщення , яке точка не виконує, а тільки могла б виконати, не порушуючи накладених на неї в’язей.

Введемо деякі поняття.

Можливою роботою називається робота, яку точка могла б виконати на переміщенні, яке збігається з можливим переміщенням цієї точки. Можливу роботу активних сил позначимо ( ), а можливу роботу реакції в’язі – символом ( ).

Ідеальними називаються в’язі, для яких сума елементарних робіт їх реакцій на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю, тобто:

Для визначення необхідної умови рівноваги доведемо, що якщо механічна система з ідеальними в’язями перебуває під дією прикладених сил у рівновазі, то при будь-якому можливому переміщенні системи повинна виконуватись рівність:

або

,

де α_k – кут між силою і можливим переміщенням.

Позначимо рівнодійну всіх (і зовнішніх, і внутрішніх) активних сил і реакцій в’язей, які діють на точку B_k, відповідно і . Тоді, оскільки кожна точка перебуває в рівновазі, то , а отже, і сума їх робіт на будь-якому переміщенні точки B_k теж буде дорівнювати нулю, тобто . Склавши такі рівняння для всіх точок і додавши їх почленно, дістанемо:

Але оскільки в’язі ідеальні, а є можливим переміщенням точки B_k, то друга складова за умовою дорівнює нулю. Тоді рівність виражає умову рівноваги системи.

Принцип можливих переміщень: для рівноваги механічної системи з ідеальними в’язями необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт всіх активних сил, що діють на неї, на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнювала нулю.

Подамо зазначену рівність в аналітичній формі:

Принцип можливих переміщень встановлює загальну умову рівноваги механічної системи, яка не вимагає розгляду рівноваги окремих частин цієї системи і дозволяє при ідеальних в’язях виключити всі наперед невідомі реакції в’язей.

2. Загальне рівняння динаміки (принцип Даламбера-Лагранжа)

Принцип можливих переміщень дає загальний метод розв’язання задач статики. З іншого боку, принцип Даламбера дозволяє використовувати методи статики для розв’язання задач динаміки. Отже, застосовуючи ці два принципи одночасно, ми можемо дістати загальний метод розв’язання задач динаміки.

Розглянемо систему матеріальних точок, на яку накладені ідеальні в’язі. Якщо до всіх точок системи, крім активних сил і реакції в’язей , додати відповідні сили інерції , то згідно принципу Даламбера здобута система буде перебувати в рівновазі. Тоді, скориставшись принципом можливих переміщень, знайдемо:

Але остання сума за умовою (ідеальні в’язі) дорівнює нулю, і остаточно маємо:

Звідси принцип Даламбера-Лангранжа: при русі механічної системи з ідеальними в’язями в кожний момент часу сума елементарних робіт всіх активних сил і всіх сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи буде дорівнювати нулю.

Це рівняння виражає принцип Даламбера-Лагранжа і називається загальним рівнянням динаміки.

В аналітичній формі маємо:

Ці рівняння дають змогу складати диференціальні рівняння руху механічної системи.

Питання для самоконтролю

1. Сформулювати принцип Даламбера для матеріальної точки.

2. Сформулювати принцип Даламбера для механічної системи.

3. Що називається можливим переміщенням механічної системи?

4. Дати означення можливій роботі, ідеальним в’язям.

5. Сформулювати принцип можливих переміщень.

6. Сформулювати принцип Даламбера–Лагранжа.

ДИНАМІКА МЕХАНІЗМІВ ТА МАШИН

^{Лекція № 34}

^{Тема: “Вступ у динаміку механізмів”}

^План

^{1. Основні завдання динаміки механізмів і машин}

^{2. Класифікація сил, що діють у машинах.}

^{3. Зведена і зрівноважуюча сили.}

^{4. Статична визначуваність механізмів в їх силовому аналізі.}

^{5. Методи силового дослідження механізмів.}

^{1. Основні завдання динаміки механізмів та машин}

^{При розгляді питань кінематичного дослідження механізмів ми завжди виходили з того, що рух ведучих ланок заданий, а рух ведених ланок вивчався в залежності від законів руху ведучих ланок. При цьому сили, які діють на ланки механізму, і сили, які виникають у процесі руху, не враховували. Таким чином, при кінематичному аналізі дослідження руху механізмів ведеться з урахуванням тільки їх структури і геометричних співвідношень між розмірами їх ланок.}

^{Динамічний аналіз механізмів має своїми завданнями:}

^{а) вивчення впливу зовнішніх сил, сил ваги ланок, сил тертя та сил інерції на ланки механізму, на елементи ланок, на кінематичні пари та нерухомі опори і встановлення способів зменшення динамічних навантажень, які виникають у процесі руху механізму.}

^{б) вивчення режиму руху механізму під дією заданих сил і встановлення способів, які забезпечують задані режими руху механізму.}

^{Перше завдання носить назву силового аналізу механізму, а друге – динаміки механізмів. У динамічний аналіз може входити і низка інших завдань, але для їх розв’язання використовується, наприклад, теорія пружності, а в теорії механізмів і машин вважають, що всі ланки абсолютно жорсткі. Тому ці завдання розглядаються в спеціальних курсах.}